Щоб забезпечити запас стійкості для стиснутого стержня потрібно, щоб стискальна сила , що діє на стержень, не перевищувала допустимої величини, яка визначається за формулою:

(1)

де  коефіцієнт запасу стійкості.

Отже, щоб виконати розрахунок стиснутого стержня на стійкість, необхідно вміти визначати для нього величину критичної сили.

2. Формула Ейлера для визначення критичної сили стиснутого

стержня. Вплив способів закріплення кінців стержня на величину критичної сили

Задача визначення критичної сили для стиснутого стержня вперше була вирішена в 1744 році видатним математиком Леонардом Ейлером. Формула для критичної сили була виведена Ейлером на прикладі ідеального прямого стержня сталого перерізу, шарнірно закріпленого на кінцях (Рис.2).

Рис.2

Одна з опор стержня допускає можливість поздовжнього переміщення відповідного кінця стержня. Власна вага стержня не враховувалася. Шукана формула мала вигляд:

. (2)

Формула Ейлера (2) для критичної сили виводилася для стержня з шарнірним закріплення кінців. Цей випадок закріплення кінців стержня прийнято називати основним випадком. В цьому випадку на довжині стержня укладається одна напівхвиля синусоїди. Однак, в практиці зустрічаються різні інші випадки закріплення кінців стержня. На рис.3 наведені деякі з них, які найбільш часто зустрічаються.

Рис.3

Для визначення значення критичної сили для кожного з наведених випадків закріплення кінців на практиці застосовується спосіб, який використовує геометричну аналогію між поведінкою пружної лінії стиснутого стержня з шарнірним закріпленням кінців (основний випадок) і іншим способом закріплення кінців стержня. Згідно з цим способом вся решта випадків закріплення кінців стержня зводиться до основного шляхом введення так званої зведеної або вільної довжини стержня.

Зведеною або вільною довжиною стержня називається умовна довжина шарнірно закріпленого стержня, який має таку саму критичну силу, як і стержень з заданим закріпленням кінців. Судити про зведену довжину стержня можна по числу напівхвиль, які укладаються на довжині стержня. З геометричної аналогії випливає, що в межах зведеної довжини стержень з довільним закріпленням кінців поводитиметься так само, як стержень з шарнірним закріпленням кінців.

Зведена довжина стержня обчислюється таким чином: , де  довжина стержня з заданим закріпленням кінців;  коефіцієнт зведеної довжини.

З визначення зведеної довжини випливає, що коефіцієнт є таке число, на яке необхідно помножити довжину стержня з заданим закріпленням кінців, щоб отримати таку довжину умовного стержня з шарнірним закріпленням кінців, на якому укладається одна напівхвиля синусоїди.

Для стержня, зображеного на рис.3,а довжина умовного стержня з шарнірним закріпленням кінців має бути в два рази більшою, ніж задана довжина стержня. Верхня частина умовного стержня з шарнірним закріпленням кінців поводитиметься точно так, як і стержень з заданим закріпленням кінців. Коефіцієнт зведення довжини для цього випадку дорівнює . На рис.3,в одна напівхвиля розміщається на довжині, яка становить 0,7 реальної довжини стержня. Коефіцієнт зведення довжини в цьому випадку складає . Для випадку жорсткого закріплення обох кінців стержня (Рис.3,г) довжина напівхвилі, заміряна між двома точками перегину, складає половину довжини стержня. Для цього випадку коефіцієнт . Для основного випадку (Рис.3,б) коефіцієнт , оскільки на його довжині укладається одна напівхвиля і, отже, зведена довжина стержня дорівнює реальній його довжині.