Враховуючи, що

, а ,

умову міцності для стиснутого стержня можна записати таким чином:

. (13)

Якщо стержень стиснутий однією силою, то в цьому випадку поздовжня сила і вираз (13) набуває вигляду:

. (14)

Місцеві послаблення практично не змінюють величину критичної сили. Тому у формулах (13), (14) вводиться повна площа поперечного перерізу.

Умова міцності (14) вирішує три задачі:

1. Перевірочний розрахунок стиснутих стержнів.

2. Підбір величини стискального навантаження.

3. Проектувальний розрахунок.

Розглянемо порядок розв’язання кожної з цих задач.

Задача 1:

1. Оскільки умови закріплення кінців стержня, довжина стержня, форма поперечного перерізу і його розміри відомі, знаходимо мінімальний осьовий момент інерції , площу , обчислюємо мінімальний радіус інерції перерізу і гнучкість стержня .

2. З таблиці 2 визначаємо коефіцієнт поздовжнього згинання і обчислюємо напруження в стержні за формулою:

.

3. Порівнюємо отримане напруження з допустимим напруженням:

.

Задача 2:

1. Виконуємо пункт 1, наведений в попередній задачі.

2. З таблиці 2 знаходимо коефіцієнт поздовжнього згинання і визначаємо значення допустимої сили за формулою:

.

Задача 3:

1. При вирішенні цієї задачі використовуємо метод послідовних наближень (метод ітерацій) шляхом варіювання величиною коефіцієнта поздовжнього згинання . Оскільки в розрахунковій формулі на стійкість є дві невідомі величини  коефіцієнт і шукана площа поперечного перерізу , приймаємо в першій спробі значення для коефіцієнта поздовжнього згинання .

2. Визначаємо площу поперечного перерізу , знаходимо розміри поперечного перерізу, мінімальний осьовий момент інерції і мінімальний радіус інерції .

3. Визначаємо гнучкість стержня , і з таблиці 2 знаходимо коефіцієнт поздовжнього згинання . Якщо значно відрізняється від , то і напруження в стержні суттєво відрізнятиметься від допустимого. В цьому випадку повторюємо розрахунок: обчислюємо середнє значення і повертаємося до пункту 2. Якщо потрібна третя спроба, то визначаємо і т.д. Зазвичай при підборі перерізів необхідно не більше двох-трьох спроб.

Приклад 1. Стержень з круглим суцільним поперечним перерізом діаметром см зазнає дії стискальної сили (Рис.5,а). Необхідно:

1. Визначити значення допустимої стискальної сили .

2. Обчислити величину критичної сили .

3. Визначити величину коефіцієнта запасу стійкості .

Матеріал стержня – Ст.3 з допустимим напруженням МПа і модулем пружності МПа.

Рис.5

Розв’язок:

1. Визначаємо моменти і радіуси інерції поперечного перерізу відносно головних осей інерції перерізу (Рис.5,б). Для круглого поперечного перерізу всі осі інерції головні, моменти інерції перерізу відносно осей і однакові:

см⁴.

Радіуси інерції також однакові і дорівнюють:

см.

2. Обчислюємо гнучкість стержня і визначаємо коефіцієнт поздовжнього згинання:

.

Стержень закріплений на кінцях шарнірно. При такому закріпленні кінців коефіцієнт впливу умов закріплення кінців стержня на величину критичної сили дорівнює .

З таблиці 2 знаходимо коефіцієнт поздовжнього згинання: .

3. З умови міцності (14) знаходимо величину допустимої стискальної сили:

кН.

4. Визначаємо граничне значення гнучкості для сталевого стержня:

.

Реальна гнучкість стержня виявляється вище граничної. Отже, для визначення величини критичної сили слід застосовувати формулу Ейлера:

кН.

Цей самий розв’язок можна отримати через величину критичних напружень і гнучкість стержня:

кН.

5. Обчислюємо коефіцієнт запасу стійкості:

.

Приклад 2. Для стержня, зображеного на рис.6,а, необхідно:

1. Визначити значення допустимої стискальної сили .

2. Обчислити величину критичної сили .

3. Визначити величину коефіцієнта запасу стійкості .

Поперечний переріз стержня – два швелери №14, повернені полицями один одному назустріч (Рис.6,б,в). Геометричні характеристики швелера №14 наступні: мм; мм; см²; см⁴; см⁴; см.

Матеріал стержня – Ст.3 з допустимим напруженням МПа.

Рис.6

Розв’язок:

1. Визначаємо гнучкість стержня. Для цього обчислимо моменти інерції поперечного перерізу і радіуси інерції відносно його головних осей. Поперечний переріз стержня і всі необхідні позначення і розміри наведені на рис.6,в.

Моменти інерції перерізу відносно головних осей інерції і з урахуванням симетрії перерізу відносно цих осей дорівнюють відповідно:

см⁴;

см⁴.

З двох моментів інерції надалі для розрахунку вибираємо менший за величиною. Для нього і визначаємо мінімальний радіус інерції перерізу:

см.

Розрахункову гнучкість стержня знайдемо з виразу:

,

де  коефіцієнт впливу умов закріплення кінців стержня на величину критичної сили. В даному випадку стержень закріплений жорстко на нижньому своєму кінці і шарнірно на верхньому. Таке закріплення кінців стержня відповідає значенню .

2. Визначаємо коефіцієнт поздовжнього згинання . Для цього скористаємося даними, наведеними в таблиці 2. Оскільки в таблиці відсутнє значення коефіцієнта , що відповідає гнучкості , скористаємося формулою лінійної інтерполяції:

,

де і  значення коефіцієнта поздовжнього згинання, які відповідають гнучкостям стержня і .

3. Обчислюємо значення допустимої стискальної сили, скориставшись умовою міцності (14), з якої випливає:

кН.

4. Визначаємо критичне значення стискальної сили. Оскільки гнучкість стержня менша за граничну допустиму для сталі , для обчислення критичних напружень скористаємося формулою Ясинського (9). Тоді величина критичної сили дорівнюватиме:

кН,

де емпіричні коефіцієнти для Ст.3 МПа і МПа взяті з таблиці 1.

4. Обчислюємо коефіцієнт запасу стійкості:

Приклад 3 розрахунку стиснутого стержня на стійкість

Потрібно підібрати двотавровий перетин стійки з одним жорстко защемленим кінцем, а другим вільним, що стискається силами довжина стійки . Основне напруження, що допускається (рис.14.6.).

Оскільки в умові стійкості нам не відоме ні , ні , однією з цих величин необхідно задатися. Приймемо для першого наближення . В цьому випадку необхідна площа поперечного перерізу стержня буде рівна

або

За сортаментом вибираємо двотавр № 24, з площею .

Найменший радіус інерції перерізу

.

Відповідна гнучкість стойки

.

Коефіцієнт за інтерполяцією між значеннями його з таблиці 14.2 для і дорівнює . Розрахунковим напруженням буде:

Перенапруження складає:

Спробуємо двотавр № 27, . ; ; найбільша його гнучкість . Оскільки коефіцієнт , та розрахункове напруження

Перенапруження складає тепер , що є допустимим.