Задания для самостоятельной работы.

1. Найти предел дроби 1) , 2) ,

если а) , б) , в) .

2. . 3

4. . 5.

6. 7.

8. . 9. .

10. . 11. .

2) Неопределённость вида , содержащая иррациональность.

Пусть неопределённость вида содержит иррациональность в числителе. Следует перенести её в знаменатель, умножая и числитель, и знаменатель на выражение, дополняющее разность корней до разности . Напомним, что из формул сокращенного умножения следует, что для этого

надо умножить на ,

надо умножить на ,

надо умножить на …

Пример 1. Вычислить .

Решение. От иррациональности в числителе избавляет операция . Значит,

Пример 2. . Вычислить .

Решение. Здесь от иррациональности в числителе избавляемся, умножая на неполный квадрат суммы: .

Возвращаясь к пределу, получаем

Пример 3. Вычислить

Решение. Множим числитель на неполный квадрат разности:

.

Тогда ▲

Аналогично поступаем, когда иррациональность в знаменателе.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Здесь от иррациональности в знаменателе избавит операция

Поэтому

Пример 5. Найти .

Решение. От иррациональности в знаменателе избавит операция

. Поэтому

▲

Пример 6. Найти .

Решение. Избавляемся от иррациональности:

для числителя

для знаменателя .

Окончательно ▲

Задания для самостоятельной работы.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3) Неопределённость вида . Отношение многочленов. Иррациональность.

Исследуем поведение многочлена при стремлении аргумента к . После преобразования

становится очевидным (теоремы о пределе суммы и произведения), что , знак при зависит только от знака старшего коэффициента , а при  от знака и от чётности степени многочлена .

Пример 1. Как ведут себя многочлены и при стремлении аргумента к ?

Решение.

1) ,

т.к. выражение в скобках стремится к 2>0, а множитель .

2) ,

здесь знак результата определяет множитель .

3) ,

т.к. выражение в скобках стремится к 5<0, а множитель .

4) ,

здесь знак результата в силу чётности множителя опять определяет знак старшего коэффициента. ▲

Таким образом, при стремлении аргумента к вычисление предела отношения двух многочленов всегда приводит к неопределённости вида .

Пример 2. Найти а) б) .

Решение. а) Вынесем за скобки и в числителе, и в знаменателе старшую степень :

.

После сокращения на неопределённости не осталось: теперь и числитель, и знаменатель по теореме о пределе суммы при имеют конечные пределы, причём предел знаменателя равен . В силу теоремы о пределе частного

.

б) Вынесем за скобки старшую степень числителя :

.

Теперь и числитель, и знаменатель при имеют конечные пределы, но предел знаменателя (суммы трёх бесконечно малых) равен нулю. Так как знаменатель  бесконечно малая при функция, то частное  бесконечно большая функция:

При наличии иррациональности неопределённость раскрывается так же, как и для натурального аргумента .

Пример 3. Найти предел функции при .

Решение. Данная функция при есть отношение двух бесконечно больших функций (неопределенность вида ). После того, как разделим и числитель, и знаменатель на (старшую степень), проблем не остается:

. ▲

Пример 4. Найти = .

Решение. В числителе старшая степень равна , в знаменателе старшая степень  тоже . Разделим на и числитель, и знаменатель:

.

Теперь и числитель, и знаменатель имеют при конечные пределы, причём предел знаменателя равен . В силу теоремы о пределе частного получаем . ▲

Пусть и , тогда

При этот результат был получен ранее, когда аргументом было натуральное число , а не непрерывно изменяющаяся переменная .

Пример 5. Найти

Решение. Степени многочленов и одинаковы, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях. Так как в числителе слагаемое повторяется 10 раз, получаем . ▲

Пример 6. Найти .

Решение. Раскрывая скобки, преобразуем числитель к виду

,

а знаменатель – к виду .

Получаем . Степени числителя и знаменателя одинаковы, поэтому предел равен отношению коэффициентов при старших степенях: .▲

Пример 7. Найти .

Решение. Чтобы определиться со старшей степенью числителя и знаменателя, воспользуемся биномом Ньютона:

;

Оказалось,что степени многочленов и одинаковы, поэтому предел равен отношению старших коэффициентов:

.▲

Неопределённость сводится к неопределённости или .

Пример 8. Вычислить .

Решение.

. ▲

Пример 9. Вычислить .

Решение.

. ▲

Пример 10. Вычислить .

Решение.

. ▲