2. Односторонние пределы функций.

Определение. Пусть функция определена на интервале . Число называется пределом слева функции в точке (при ), если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Предел слева обозначают .

Аналогично, в случае, когда функция определена на интервале , вводится понятие предела справа. Предел справа обозначают так:

.

Теорема. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа и они равны, то есть

= .

Пример 1. Покажем, что функция

имеет в точке и правое, и левое

предельные значения.

Решение. Действительно, пусть  любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента, элементы которой . Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т. е. сходится к 1. Если элементы сходящейся к нулю последовательности отрицательны, то им соответствует последовательность значений функции , сходящаяся к 1. А это в силу определения и означает, что

Таким образом, функция имеет в точке и правое, и левое предельные значения, но они не совпадают: . Поэтому в точке не имеет предельного значения. ▲

Для функций, область определения которых  интервал или , вводится понятие предела при или при .

Определение. Число называют пределом функции при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Этот предел обозначают .

Определение. Число называют пределом функции при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Этот предел обозначают .

Для односторонних пределов справедливы теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного.

Пример 2. Записать на языке кванторов, дать геометрическую интерпретацию

1. при , 2. при ,

3. при , 4. при .

Решение. 1. а) Сначала запишем на языке « » утверждение: «предел функции равен 3 при стремлении аргумента к 1»:

.

Р аскроем модули: ; .

б) По условию, аргумент стремится к точке 1 справа, оставаясь больше 1; при этом функция стремится к своему предельному значению 3, оставаясь меньше этого значения. Другими словами, попадание аргумента в правую -окрестность точки 1 гарантирует попадание значений функции в левую (нижнюю) -окрестность точки 3:

Эскиз графика функции расположен в прямоугольнике .

2. а) Запишем на языке « » утверждение: «функция стремится

к бесконечности при стремлении аргумента к 2»:

и раскроем модули в неравенствах:

;

.

б) По условию, аргумент стремится к точке 2, оставаясь меньше 2; при этом функция , оставаясь положительной, неограниченно возрастает. Это значит, что попадание аргумента в левую -окрестность точки 2 гарантирует выполнение неравенства

.

Эскиз графика функции расположен в полуполосе .

Прямая  вертикальная асимптота графика функции.

3. а) .

Р аскроем модули в неравенствах:

.

б) По условию, аргумент стремится к отрицательной бесконечности, при этом функция стремится к своему предельному значению 3, оставаясь больше 3. Иначе, если для аргумента выполняется неравенство , это гарантирует попадание значений функции в правую (верхнюю) -окрестность точки 3:

.

Эскиз графика функции расположен в полуполосе ,

прямая  горизонтальная асимптота графика функции.

4. ,

поэтому

.

Эскиз графика функции расположен внутри угла .