Харківська академія неперервної освіти Завдання іі (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

9 клас

1. Розв’яжіть рівняння .

2. Дано три зведених квадратних тричлени. Дискримінант кожного з них відповідно дорівнює 1, 4 і 9. Чи можна вибрати по одному кореню з кожного тричлена так, щоб їх сума дорівнювала сумі коренів, що залишилися? Відповідь поясніть.

3. Коло ω₁ проходить через центр кола ω₂. З точки C, що лежить на ω₁, проведено дотичні до ω₂, які перетинають ω₁ у точках A і B. Доведіть, що відрізок AB перпендикулярний до прямої, яка проходить через центри кіл.

4. Чи існує 2012 таких різних натуральних чисел, що сума будь-яких 2011 з них ділиться на число, яка залишилося? Відповідь поясніть.

Харьковская академия непрерывного образования Задания іі (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике

10 Класс

1. Решите уравнение .

2. На графике функции, заданной многочленом с целыми коэффициентами, отмечены две точки с целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними — целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

3. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABB₁A₂, BCC₁B₂ и CAA₁C₂. На отрезках A₁A₂ и B₁B₂ также во внешнюю сторону от ΔAA₁A₂ и ΔBB₁B₂ построены квадраты A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄. Докажите, что A₃B₄ || AB.

4. Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 100. Если все её члены увеличить на 1 или все её члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 100. Какие значения при этих условиях может принимать величина n²d, где d – разность прогрессии, а n – число её членов?

Харківська академія неперервної освіти Завдання іі (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

10 Клас

1. Розв’яжіть рівняння

2. На графіку функції, заданої у вигляді многочлена з цілими коефіцієнтами, позначені дві точки з цілими координатами. Доведіть, що коли відстань між ними – ціле число, то відрізок, який їх з’єднує паралельний осі абсцис.

3. На сторонах трикутника ABC зовні побудовано квадрати ABB₁A₂, BCC₁B₂ і CAA₁C₂. На відрізках A₁A₂ і B₁B₂ також у зовнішню сторону від ΔAA₁A₂ і ΔBB₁B₂ побудовано квадрати A₁A₂A₃A₄ і B₁B₂B₃B₄. Доведіть, що A₃B₄ || AB.

4. Сума модулів членів скінченої арифметичної прогресії дорівнює 100. Якщо всі її члени збільшити на 1 або всі її члени збільшити на 2, то в обох випадках сума модулів членів отриманої прогресії буде також дорівнювати 100. Які значення за цих умов може набувати величина n²d, де d – різниця прогресії, а n – число її членів?

Харьковская академия непрерывного образования Задания іі (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике

11 Класс

1. Решите уравнение .

2. Существует ли плоский четырёхугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны? Ответ объясните.

3. В ряд записаны числа 1, 2, 3, … , 20, 21. Играющие по очереди вычеркивают по одному числу до тех пор, пока не останутся два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выигравшим считается первый игрок, если нет – то второй. Кто выиграет при правильной игре? Ответ объясните.

4. К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных натуральных числа. Полученное число оказалось равным кубу суммы трёх указанных чисел. Найдите все возможные тройки указанных чисел.