Харківська академія неперервної освіти Завдання іі (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
7 клас
1 . У числах, зашифрованих словами МИХАЙЛО і ЛОМОНОСОВ, кожна літера позначає цифру (різним літерам відповідають різні цифри). Відомо, що добутки цифр кожного з чисел рівні. Чи можуть обидва числа бути непарними? Відповідь поясніть.
2. Чи можна розрізати на три рівні частини фігуру, яка зображена на малюнку. Відповідь поясніть.
3. Посланцеві треба пробігти 24 милі. Дві третини цієї відстані він пробіг із середньою швидкістю 8 миль за годину. Чи зможе він, збільшивши швидкість, пробігти залишок шляху так, щоб його середня швидкість на всьому шляху виявилася рівною 12 миль за годину? Відповідь поясніть.
4. Лисиця та два ведмежати ділять 100 цукерок. Лисиця розкладає цукерки на три купки; кому яка дістанеться – визначає жереб. Лисиця знає, якщо ведмежатам дістануться купки з різною кількістю цукерок, то вони попросять її зрівняти їх купки, і тоді вона забере надлишок собі. Після цього всі з’їдять цукерки, що їм дісталися. Чи може Лисиця розкласти цукерки на купки так, щоб з'їсти рівно 80 цукерок. Відповідь поясніть.
Харьковская академия непрерывного образования Задания іі (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике
8 Класс
1.
Решите систему уравнений
2. Последовательность чисел строится по следующему закону: на первом месте стоит число 7, далее – сумма цифр его квадрата, увеличенная на единицу. Какое число стоит на 2012 месте? Ответ объясните.
3. Высоты AA´ и BB´ треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно. Докажите, что прямые XY и A´B´ перпендикулярны.
4. Найдите в целых числах решения уравнения m2n2 + m2 + n2 + 8 = 2012.
Харківська академія неперервної освіти Завдання іі (районного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
8 клас
1. Розв’яжіть систему рівнянь
2. Послідовність чисел формується за таким законом: на першому місці стоїть число 7, далі – сума цифр його квадрата, збільшена на одиницю. Яке число стоїть на 2012 місці? Відповідь поясніть.
3. Висоти AA´ і BB´ трикутника ABC перетинаються в точці H. Точки X і Y - середини відрізків AB і CH відповідно. Доведіть, що прямі XY і A´B´ перпендикулярні.
4. Знайдіть у цілих числах розв’язки рівняння m2n2 + m2 + n2 + 8 = 2012.
Харьковская академия непрерывного образования Задания іі (районного) этапа Всеукраинской ученической олимпиады по математике
9 Класс
1.
Решите уравнение
.
2. Даны три приведённых квадратных трёхчлена. Дискриминант каждого из них равен соответственно 1, 4 и 9. Можно ли выбрать по одному корню в каждом из данных трёхчленов так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней? Ответ объясните.
3. Окружность ω1 проходит через центр окружности ω2. Из точки C, лежащей на ω1, проведены касательные к ω2, пересекающие ω1 в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен прямой, проходящей через центры окружностей.
4. Существует ли 2012 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2011 из них делится на оставшееся число? Ответ объясните.