§ 97. Плоская волна в анизотропной среде

При изучении оптики анизотропных тел—кристаллов —мы ограничимся наиболее важным случаем, когда среду можно счи­тать (в данной области частот) немагнитной и прозрачной. В со­ответствии с этим связь между напряженностями и индукциями электрического и магнитного полей дается равенствами

D_t = z_ikE_k, В = Н, (97,1)

причем все компоненты диэлектри- ческого тензора e_ik вещественны, а его главные значения положи- Рис. 51. тельны.

Уравнения Максвелла для поля монохроматической волны гласят:

t'coH = с rot Е, tcoD = —с rot Н. (97,2)

В плоской волне, распространяющейся в прозрачной среде, все величины пропорциональны е'^кг с вещественным волновым век­тором к. Произведя дифференцирование по координатам, получим

■jH = [kE], ^-D = -[kH]. (97,3)

Отсюда прежде всего видно, что три вектора k, D и Н взаим­но перпендикулярны. Кроме того, вектор Н перпендикулярен к Е. Поскольку вектор Н перпендикулярен одновременно к трем векторам D, Е, к, то последние лежат в одной плоскости. Рис. 51 иллюстрирует взаимное расположение всех векторов. По отношению к направлению волнового вектора поперечны D и Н, но не Е. На рисунке указано также направление потока энергии S в волне. Оно определяется векторным произведением [ЕН], т. е. перпендикулярно к Е и Н. В отличие от волны в изотропной среде, здесь направление потока энергии не совпадает с направлением волнового вектора. Очевидно, что вектор S комп-

ланарен с векторами Е, D, к и составляет с вектором к угол, равный углу между Е и D.

Выделим из абсолютной величины вектора к множитель со/с и будем писать

к=^п. (97,4)

Абсолютная величина определенного таким образом вектора п в анизотропной среде зависит от его направления, в отличие от изотропной среды, в которой п = V~e зависит только от частоты^х). С помощью обозначения (97,4) основные формулы (97,3) напи­шутся в виде

H = [nE], D = —[пН]. (97,5)

Выпишем также выражение для вектора потока энергии в плоской волне:

S = £ [EH] = ^ {п£² - Е (En)} (97,6)

(в этой формуле Е и Н вещественны).

До сих пор мы не использовали еще соотношения (97,1), содержащего материальные константы e_ik. Совместное использо­вание этого соотношения и уравнений (97,5) позволяет опреде­лить зависимость со (к).

Подставив первую из формул (97,5) во вторую, получим

D = [n[En]] = n²E — п(пЕ). (97,7)

Если приравнять компоненты этого вектора выражениям z_ikE_k согласно (97,1), мы получим три однородных линейных уравне­ния для трех составляющих вектора Е:

п²£,. — n₍n_kE_k = ^_ikE_k

или

И/*-¥*-У£* = 0. . (97,8)

Условие совместности этих уравнений требует обращения в нуль определителя, составленного из их коэффициентов:

det|n²S,._ft-«,.n,-e,.,| = 0. (97,9)

Фактическое вычисление этого определителя удобно произво­дить, воспользовавшись в качестве декартовых осей координат х, у, z главными осями тензора e_ik (называемыми в этой связи главными диэлектрическими осями). Главные значения тензора обозначим посредством e^U), г⁽У\ e^U). Простое вычисление при-

^х) О величине п и здесь принято говорить как о показателе преломления, хотя она теперь не имеет такого простого .отношения к закону преломления, как в изотропных телах.

водит к следующему уравнению:

п²- (г^{х) п\ + е<У>п²у + е^,г)п|) — [п²_хг^{х) (е⁽^> + s^(z)) + nfc^ (е<*> + е^(г)) +

+ nfe^(z> (е⁽*> + е⁽Я)] + е⁽*>е W> = 0. (97,10)

Отметим, что старшие члены (шестой степени по /?,•) при раскры­тии взаимно сокращаются; это обстоятельство, разумеется, не случайно и связано в конечном счете с тем, что волна имеет всего два, а не три независимых направления поляризации.

Уравнение (97,10)—так называемое уравнение Френеля — одно из основных уравнений кристаллооптики*). Оно определяет в неявном виде закон дисперсии, т. е. зависимость между часто­той и волновым вектором (функциями частоты являются глав­ные значения е^ш, а в некоторых случаях — см. § 99 — также и направления главных осей тензора e_/ft). Обычно при рассмотре­нии монохроматических волн частота, а с нею и все г^и) явля­ются заданными постоянными величинами, и тогда уравнение (97,10) определяет абсолютную величину волнового вектора по его направлению. При заданном направлении п (97,10) есть квадрат­ное уравнение для п² с вещественными коэффициентами. Поэтому каждому направлению п соответствуют в общем случае два раз­личных абсолютных значения волнового вектора.

Уравнение (97,10) (с постоянными коэффициентами е^(,)) опре­деляет в координатах п_х, п_у, п_г некоторую поверхность — поверх­ность волновых векторов²). В общем случае это есть поверхность четвертого порядка; ее подробное исследование будет произведено в следующих параграфах. Здесь же мы укажем лишь некоторые ее важные общие свойства.

Предварительно введем еще одну величину, характеризующую свет, распространяющийся в анизотропной среде. Направление световых лучей (в геометрической оптике) определяется вектором групповой скорости дю/dk. В изотропной среде его направление всегда совпадает с направлением волнового вектора; в анизот­ропной же среде это, вообще говоря, не так. Для характеристи­ки лучей введем вектор s, по направлению совпадающий с груп­повой скоростью, а по абсолютной величине определяющийся равенством

ns=l. (97,11)

²) Используемое в литературе другое построение — поверхность нормалей (или поверхность индексов), получающаяся путем откладывания вдоль каждого направления отрезка 1/п (вместо п), — представляется менее удобным.

Будем называть s лучевым вектором. Смысл этой величины выясняется следующим образом.

Рассмотрим пучок лучей (с одинаковой частотой), распростра­няющихся во все стороны из некоторого центра. Значение эйко­нала г|з (совпадающего с точностью до множителя со/с с фазой

волны; см. § 85) в каждой точке луча дается интегралом ^ndl, взятым вдоль луча. Введя вектор s, определяющий направление луча, напишем

(97,12)

В однородной среде s постоянно вдоль луча, так что if> = L/s, где L—длина данного отрезка луча. Отсюда видно, что если вдоль каждого радиуса, выходящего из центра пучка лучей, отложить отрезок, равный (или пропорциональный) s, то мы получим поверхность, во всех точках которой лучи имеют оди­наковую фазу. Эту поверхность называют лучевой.

Введенные таким образом поверхность волновых векторов и лучевая поверхность находятся в определенном взаимном отно­шении друг с другом. Напишем уравнение поверхности волновых векторов условно в виде / (со, к) = 0. Тогда групповая скорость

(97,13)

т. е. пропорциональна вектору df/dk или, что то же (поскольку производная берется при постоянном со), — вектору df/dn. Ему же, следовательно, пропорционален лучевой вектор. Но вектор df/dn направлен по нормали к поверхности / = 0.

Таким образом, мы приходим к результату, что направление лучевого вектора волны с заданным значением п определяется нормалью к соответствующей точке поверхности волновых век­торов.

Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение: нор­мали к лучевой поверхности определяют направления соответ­ствующих волновых векторов. Действительно, перпендикуляр­ность s к поверхности волновых векторов выражается соотно­шением

s6n=0,

где бп—любое бесконечно малое изменение п (при заданном со), т. е. вектор бесконечно малого смещения на поверхности. Но, дифференцируя (тоже при заданном со) равенство ns=l, полу­чим n6s + s6n = 0, откуда видно, что и

n8s = 0,

чем и доказывается сделанное утверждение.

Описанная связь между поверхностями п и s может быть еще уточнена. Пусть п₀ есть радиус-вектор какой-либо точки поверх­

ности волновых векторов, a s₀—соответствующий ей лучевой вектор; напишем уравнение (в координатах п_х, п , п₂) касатель­ной в этой точке плоскости. Это есть

s₀(n —п₀) = 0,

чем выражается перпендикулярность s₀ к любому вектору п — п₀, лежащему в данной плоскости. Поскольку s₀ и п₀ связаны соот­ношением s₀n₀=l, то это уравнение можно записать в виде

s₀n=l. (97,14)

Отсюда видно, что l/s₀ есть длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, касательную к поверхности волновых векторов в точке п₀.

Обратно: если к некоторой точке s₀ лучевой поверхности построена касательная плоскость, то длина перпендикуляра, опущенного (из начала координат) на эту плоскость, равна 1/п₀.

Выясним расположение лучевого вектора по отношению к векторам напряженности поля в волне. Для этого замечаем, что направление групповой скорости совпадает с направлением сред­него (по времени) вектора потока энергии. Действительно, рас­смотрим волновой пакет, заключенный в малом участке прост­ранства. При перемещении пакета сосредоточенная в нем энергия перемещается вместе с ним, а это и значит, что направление ее потока совпадает с направлением скорости пакета, т. е. груп­повой скорости. Совпадение направлений групповой скорости и вектора Пойнтинга можно доказать также и непосредственно из формул (97,5). Дифференцируя эти формулы (при заданном ш),

ПОЛУЧИМ

6D = [6Hn] + [H6n], бН = [пбЕ] + [бп-Е]. (97,15)

Умножим первое равенство скалярно на Е, а второе на Н; с учетом (97,5) имеем

E6D = H6H + [EH]6n, H6H = D6E + [EH]6n.

Но D бЕ = e_ikE_kbE,= Е 6D; поэтому, складывая оба равенства, получим

[ЕН]6п = 0, (97,16)

т. е. вектор [ЕН] нормален поверхности волновых векторов, что и требовалось доказать¹).

Поскольку вектор Пойнтинга перпендикулярен Н и Е, то мы заключаем теперь, что то же самое относится и к вектору s:

sH = 0, sE = 0. (97,17)

^х) Полученный таким образом результат относится к мгновенному (а не только к среднему) значению потока энергии. Однако в приведенном доказа­тельстве существенным образом использована симметричность тензора г/д. Поэтому в таком виде результат не будет справедлив для сред с несим­метричным (гиротропные среды —см. § 101). Утверждение же для среднего значения вектора Пойнтинга справедливо и в этом случае (задача 1 к§ 101)

Непосредственное вычисление с помощью формул (97,5), (97,11) и (97,17) приводит к соотношениям

H = [sD], Е = —[sH]. (97,18)

Так,

[sH] = [s [nE]] = n (sE) — Е (ns) = —Е.

Если сравнить формулы (97,18) с формулами (97,5), то мы уви­дим, что они получаются друг из друга заменой

Е <-> D, n<->s, e,-_ft<->e^ (97,19)

(причем не нарушается, разумеется, и соотношение ns=l). По­следняя из этих трех замен должна быть введена для того, чтобы не нарушалась также и связь (97,1) между D и Е. Таким образом, можно высказать следующее правило, полезное при различных вычислениях: если имеется какое-либо уравнение, справедливое для одного ряда перечисленных величин, то замена (97,19) приводит к правильному аналогичному уравнению для другого ряда величин.

В частности, применив это правило к уравнению (97,10), сразу же получим аналогичное уравнение для вектора s: _S2 (е<у>_е<2>₅2 _j_ g(x)_s(z)_s|₍ _|_ _eu)_e(y)_s2) _

— [s! (e^¹ + е^(г>) -4- s_y (e^u) + e^(z>) + s\ (e<*> + e⁽>")] + 1 = 0.(97,20)

Этим уравнением определяется форма лучевой поверхности. Как и поверхность волновых векторов, это есть поверхность четвер­того порядка. При заданном направлении s (97,20) дает квадрат­ное уравнение для s², имеющее в общем случае два различных вещественных корня. Таким образом, вдоль каждого направле­ния в кристалле могут распространяться два луча с различными волновыми векторами.

Перейдем к вопросу о характере поляризации волн, рас­пространяющихся в анизотропной среде. Уравнения (97,8), из которых было получено уравнение Френеля, для этой цели не­удобны, так как в них входит напряженность Е, в то время как поперечной в волне (по отношению к заданному п) является индукция D. Для того чтобы с самого начала учесть попереч-ность вектора D, выберем временно новую систему координат, одна из осей которой направлена вдоль волнового вектора волны. Две же поперечные оси будем отмечать греческими индексами, пробегающими значения 1, 2. Поперечные составляющие равенства (97,7) дают D_a = tt²£_a; подставив сюда £_а = г^О_в (где е«£ — компонента тензора, обратного тензору е_аВ), получим

(n-²6_ap-e^)Dp = 0. (97,21)

Условие совместности этих двух (а=1, 2) уравнений с двумя неизвестными D_lt D₂ заключается в равенстве нулю их определителя:

det] «-²б_тер—_е-|| = 0. (97,22)

Это условие совпадает, разумеется, с написанным в исходной системе координат х, у, z уравнением Френеля. Мы видим теперь, однако, что соответствующие двум значениям п векторы d направлены вдоль главных осей двумерного симметричного тензора второго ранга е„р. Согласно общим теоремам отсюда сле­дует, что эти векторы взаимно перпендикулярны. Таким образом, в двух волнах с одинаковым направлением волнового вектора векторы электрической индукции линейно поля­ризованы в двух взаимно перпендикулярных плос­костях.

Уравнения (97,21) допускают простую геомет­рическую интерпретацию. Построим в системе ко­ординат х, у, z (снова возвращаемся к главным .диэлектрическим осям) тензорный эллипсоид, со­ответствующий тензору ej_k^l, т. е. поверхность

sTk^xXiX_k = + + Л7) = 1 (97,23)

(рис. 52). Пересечем эллипсоид плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной к заданному направлению п. Фигурой сечения будет в общем случае эллипс; длины его глав­ных осей определяют значения п, а их направления — соответст­вующие направления колебаний (векторы d).

Из этого построения (в общем случае различных е^(х), е^', г^{г)) очевидно, что если волновой вектор направлен, скажем, вдоль оси х, то направлениями поляризации d будут оси у и г. Если же вектор п лежит в одной из координатных плоскостей, например в плоскости ху, то одно из направлений поляризации лежит тоже в плоскости ху, а другое — перпендикулярно к ней.

Аналогичными свойствами обладают поляризации двух волн с одинаковым направлением лучевого вектора. Вместо направ­лений индукции d здесь надо рассматривать направления попе­речного к s вектора Е, причем вместо уравнений (97,21) будем иметь аналогичные уравнения

(5-²6_а(5-е_аР)£р = 0. (97,24)

Геометрическое построение осуществляется в этом случае с по­мощью тензорного эллипсоида

e_lkx,x_k = r^wx* + eWy* + e^W)z* = 1, (97,25)

соответствующего прямому тензору e_lk (эллипсоид Френеля).

Следует подчеркнуть тот факт, что распространяющиеся в анизотропной среде плоские волны оказываются линейно поляри­зованными в определенных плоскостях. В этом отношении опти-

ческие свойства анизотропных сред существенно отличаются от свойств изотропных сред. Распространяющаяся в изотропной среде плоская волна в общем случае поляризована эллиптически, и лишь в частных случаях эллиптическая поляризация сводится к линейной. Это существенное отличие связано с тем, что слу­чай полной изотропии среды является в известном смысле вы­рожденным: двум направлениям поляризации соответствует здесь один и тот же волновой вектор, вместо двух различных (с оди­наковым направлением) в общем случае анизотропной среды; распространяясь с одним и тем же значением п, две линейно поляризованные волны складываются в эллиптически поляризо­ванную.

Задача

Выразить компоненты лучевого вектора s через компоненты п в главных диэлектрических осях.

Решение. Продифференцировав левую сторону уравнения /(п) = 0 (97,10) по я,- и определив затем коэффициент пропорциональности между s,- и дЦдщ, из условия ns=l, получим следующие формулы для связи между векторами s и п:

г<*> (е<-У> + е<*>) — 2e<*>nf — (е<*> + е<>") г\ — (е<*> -f е<^г>) п\

п_х гв^Яе^» —я|е<*> (eW + E^') — /ijJeW (B<*>-f-B<z>) — я₂в<^г> (eifl + sW)

и аналогично — для s_;/, s_z.