§ 40. Энергия магнитной анизотропии

Как уже было указано, анизотропия магнитных свойств ферро­магнетика связана со сравнительно слабыми релятивистскими взаимодействиями между его атомами. В макроскопической тео­рии эта анизотропия описывается путем введения в термодина­мический потенциал соответствующих членов — энергии магнитной анизотропии, зависящей от направления намагничения.

Вычисление энергии анизотропии, исходя из микроскопической теории, требовало бы применения квантовомеханической теории возмущений, в которой роль возмущающей энергии играют члены в гамильтониане кристалла, описывающие релятивистские взаимо­действия. Но общий вид искомых выражений может быть уста­новлен и без проведения этих вычислений, на основании простых соображений симметрии.

Гамильтониан релятивистских взаимодействий содержит члены первой и второй степени по операторам векторов спина электро­нов (спин-орбитальное и спин-спиновое взаимодействия). Малость тех и других определяется отношением v'^z/c², где v — порядок величины скоростей атомных электронов, а с —скорость света. Ряд теории возмущений для энергии анизотропии есть разложе­ние по этой малости, но ввиду указанной зависимости оператора возмущения от операторов спина, энергия анизотропии автома­тически получается в виде ряда по степеням направляющих ко­синусов вектора намагниченности, т. е. компонент единичного вектора m в направлении М. С другой стороны, энергия анизо­тропии £/_ан, как и сам потенциал Ф (ср. примечание на стр. 199), инвариантна по отношению к обращению времени, между тем как намагниченность М при этом преобразовании меняет знак. Отсюда следует, что энергия анизотропии должна быть четной функцией компонент т.

Для одно- и двухосных кристаллов разложение энергии ани­зотропии начинается с членов второй степени по компонентам т. Представим эти члены в виде

U_№ = K_ikm_tm_b, (40,1)

где Кщ — симметричный тензор второго ранга, компоненты кото-

рого имеют (как и сама £/_а„) размерность плотности энергии. В одно- и двухосных кристаллах такой тензор имеет соответст­венно две и три независимые компоненты. Однако в данном случае надо еще иметь в виду, что одна квадратичная комбинация, именно m'_x-\-m_y-\-ml= I, не зависит от направления вектора m и потому может быть исключена из энергии анизотропии. Следо­вательно, выражение (40,1) для одно- и двухосных кристаллов содержит соответственно всего один или два независимых коэф­фициента.

Так, для одноосных кристаллов энергию анизотропии можно написать в виде

и_ая = К {m* + ml) = K sin² 9 (40,2)

или в эквивалентном виде¹)

c/_a„ = -/vmi = -/vcos² 9,

где 9 —угол между m и осью z, выбранной вдоль главной оси симметрии кристалла. Если коэффициент (функция температуры) К > 0, то энергия анизотропии минимальна при намагничении вдоль оси г; эта ось будет, как говорят, направлением легкого намагничения, а о таком ферромагнетике говорят, что он отно­сится к типу «легкая ось». Если же К < 0, то направление легкого намагничения лежит в плоскости ху (базисная плоскость кристалла); такой ферромагнетик относится, как говорят, к типу «легкая плоскость»²). Выражение (40,2) изотропно в плоскости ху. Эта изотропия, однако, нарушается в членах более высокого порядка в разложении U_ш, которыми и определяется (при К < 0) направление легкого намагничения в плоскости ху. Вид этих членов зависит от конкретной кристаллической системы, к кото­рой относится кристалл.

Для тетрагональных кристаллов члены четвертого порядка содержат два независимых инварианта (т_х + т?,)² и т_хт²_у (оси х и у выбраны вдоль двух осей 2-го порядка в базисной плоскости). К анизотропии в базисной плоскости приводит второй из них.

В гексагональном кристалле энергия анизотропии содержит в четвертом порядке всего один член, пропорциональный (т_х-\-т1)²\ в этом приближении энергия анизотропии записывается как

^г) Эти два выражения отличаются друг от друга не зависящей от направ­ления величиной К- Переход от одного из них к другому означает включение этой величины в изотропную часть Ф; в частности, меняется коэффициент А в разложении (39,3).

²) Примером одноосного ферромагнетика является гексагональный кобальт. У него К меняет знак при температуре ~530 К, причем К > 0 и К < 0 соот­ветственно ниже и выше этой температуры. Экстраполированное к 0 К значе* ние /С»0,8■ 10⁷ эрг/см³. Значение же NT_C ~ 2-10'⁰ эрг/см³.

£/_aH = /C,sin^a8 + /C₂sin*e (40,3)

(коэффициент К. из (40,2) обозначен здесь как /С_х). Анизотропия в базисной плоскости, однако, появляется лишь в членах 6-го порядка; анизотропным инвариантом этого порядка является

¹/₂ [(т_х + im_yY + (rn_x — im_yf] = sin⁴ 9 cos 6q? (40,4)

(ось x выбрана вдоль одной из осей 2-го порядка в базисной плоскости; от нее же отсчитывается азимутальный угол ф).

Наконец, ромбоэдрическая симметрия допускает два члена четвертого порядка с инвариантами

(а«? +^)^a = sin⁴9, (40,5)

¹/₂т_г [(т_х + ltn_yy + [т_х — im_y)³] = cos 9 sin³ 9 cos 3qp (40,6)

(ось у — вдоль одной из осей 2-го порядка; угол ф отсчитывается от оси х). Наличие множителя т₂ во втором из инвариантов приводит к выходу направления легкого намагничения на малый угол из базисной плоскости; ввиду малости m_z, определение на­правления легкого намагничения требовало бы одновременного учета членов как 4-го, так и 6-го порядков (среди которых есть член с инвариантом (40,4)).

Перейдем к ферромагнитным кристаллам кубической системы. Их свойства существенно отличаются от свойств одноосных (и двухосных) кристаллов. Дело в том, что единственной комби­нацией второго порядка, инвариантной по отношению к преобра­зованиям кубической симметрии, которую можно составить из компонент вектора т, является квадрат т²=1. Поэтому первым неисчезающим членом в разложении энергии анизотропии у куби­ческого кристалла является член не второго, а четвертого по­рядка. В связи с этим эффекты магнитной анизотропии у куби­ческих кристаллов, вообще говоря, слабее, чем в одно- и двухосных кристаллах.

Кубическая симметрия допускает всего один независимый ин­вариант четвертого порядка, зависящий от направления т. Энер­гия анизотропии кубического ферромагнетика может быть пред­ставлена в виде

г/а_Н = К (m|m» 4- т\т\ + m*ml) (40,7)

или

г/ап = -¹/ЛК+тЯ-т|);

эквивалентность обоих выражений очевидна из того, что их раз­ность есть не зависящая от направления величина /С/2.

При К > 0 (например, у железа) энергия анизотропии дости­гает одинаковых по величине минимальных значений при трех расположениях вектора m — параллельно трем ребрам куба (оси х, у, г; кристаллографические направления [100], [010], [001]). Таким образом, в этом случае кристалл имеет три эквивалентные оси легкого намагничения.

Если же К < 0 (например, у никеля), то энергия анизотропии минимальна при m| = mj; = mi = V₃, ^т- е. когда вектор m направ­лен вдоль какой-либо из четырех пространственных диагоналей куба (кристаллографические направления [111], [111] и т. д.). Они и являются в этом случае направлениями легкого намагни­чения¹).

Следующему после (40,7) приближению в энергии анизотропии кубического кристалла отвечают члены шестого порядка. Исключив из их числа не зависящий от направления инвариант (т²)³ и выражение, отличающееся от (40,7) лишь множителем m^z, мы останемся всего с одним инвариантом, в качестве которого можно выбрать т\т\т\. Тогда

U_an = Кг (т\т\ + т\т\ + т\т\) + К^п_хт\т1. (40,8)

Следует отметить, что ферромагнитный кубический кристалл, спонтанно намагниченный вдоль какой-либо из своих осей лег­кого намагничения, теряет, строго говоря, кубическую сим­метрию (в связи с чем происходит и соответствующее смещение атомов, т. е. искажение кристаллической решетки). Кристалл, намагниченный вдоль направления ребра куба, становится слабо тетрагональным, а при намагничении вдоль пространственной диагонали куба—ромбоэдрическим. В этом отношении кубиче­ские кристаллы отличаются от одноосных кристаллов с направ­лением легкого намагничения вдоль главной оси симметрии; очевидно, что намагничение в этом направлении не меняет симметрии кристалла.

Подчеркнем снова, что рассмотренное в этом параграфе раз­ложение энергии анизотропии ферромагнетика по степеням ком­понент единичного вектора m не есть разложение по самой на­магниченности М (которая, вдали от точки Кюри, отнюдь не мала)—сходимость ряда связана лишь со слабостью релятивист­ских взаимодействий. Но вблизи точки Кюри, где величина М мала, оно становится разложением по М. В рамках теории Ландау отсюда следовало бы, что в одноосном кристалле отношение К/М² (К из (40,2)) должно стремиться при Т —> Т_с к отличному от нуля конечному значению. Для пояснения этого утверждения рассмотрим, например, переход из парамагнитной фазы в ферро­магнитную типа легкая ось. Согласно (39,3) и (40,2), квадратич­ные члены разложения термодинамического потенциала по сте­пеням компонент М имеют вид

АМ1 + (А +К/М*){М1 + М1).

Точка перехода определяется обращением в нуль коэффициента при М\; коэффициент же при М\-\-М\ остается конечным.

^J) Для примера укажем, что у железа и никеля значение ^Х1_ЪК (разность Для наиболее легкого и наиболее трудного направлений намагничения), экстраполированное к 0К, составляет около 2-10⁵ эрг/см³.

Аналогичным образом, в кубическом ферромагнетике должно было бы стремиться к конечному значению отношение К/М^4, (К из (40,7)).

Во флуктуационной области, однако, указанное поведение коэффициентов анизотропии, вообще говоря, нарушается.