§ 2. Энергия электростатического поля проводников

Вычислим полную энергию 41 электростатического поля заря­женных проводников¹):

^=4JEW, (2,1)

где интеграл берется по всему объему пространства вне провод­ников. Преобразуем этот интеграл следующим образом:

% = — _L j Е gra d ф dV = — -L- J d i v (cpE) dV + ~ j cp d i v E dV.

Второй интеграл обращается в нуль в силу (1,4), а первый пре­образуется в интеграл по ограничивающим поле поверхностям проводников и по бесконечно удаленной поверхности. Но послед­ний интеграл обращается в нуль в силу достаточно быстрого убывания поля на бесконечности (предполагается, что произволь­ная постоянная в <р выбрана таким образом, что ф = 0 на беско-

^х) Квадрат Е² не совпадает со средним квадратом е² истинного поля вблизи поверхности проводника, а также и в объеме последнего (где Е - 0, но, разу­меется, е² ф 0). Вычисляя интеграл (2,1), мы тем самым отвлекаемся от не интересующей нас здесь внутренней энергии проводника как такового и от энергии сродства зарядов к его поверхности.

нечности). Нумеруя проводники индексом а и обозначая посто­янные значения потенциала вдоль каждого из них посредством ср_а, получим *)

а а

Наконец, вводя полные заряды проводников е_а согласно (1,10), получим окончательно выражение

^{^=4£е}_аФа^{, (2,2)}

а

аналогичное выражению для энергии системы точечных зарядов.

Заряды и потенциалы проводников не могут быть заданы одновременно произвольным образом; между ними существует определенная связь. В силу линейности и однородности уравнений поля в Пустоте эта связь тоже должна быть линейной, т. е. вы­ражаться соотношениями вида

е_а = ^С_аЬ^_ь, (2,3)

ь

где величины С_аа, С_аЬ имеют размерность длины и зависят от формы и взаимного расположения проводников. Величины С_аа называют коэффициентами емкости, а величины С_аЬ (афЬ)— коэффициентами электростатической индукции. В частности, если имеется всего один проводник, то е = Сср, где С—емкость; порядок величины емкости совпадает с линейными размерами тела. Обратные выражения для потенциалов через заряды:

Фа = 2 С£е_ь, (2,4)

ь

где коэффициенты составляют матрицу, обратную матрице коэффициентов С_аЬ.

Вычислим изменение энергии системы проводников при бес­конечно малом изменении их зарядов или потенциалов. Варьируя исходное выражение (2,1), имеем

Это выражение можно преобразовать далее двумя эквивалентными способами. Подставив Е = — grad ср и имея в виду, что варьиро­ванное поле, как и исходное, удовлетворяет уравнениям (1,4) (так

^х) При преобразовании объемного интеграла в поверхностный здесь и ниже надо иметь в виду, что Е_п есть составляющая поля по направлению нормали, внешней по отношению к проводнику; это направление противоположно на­правлению нормали, внешней пп отношению, к. области объемного интегриро­вания, т. е. пространства вне лшводннков .В связи с этим при преобразовании изменен знак интеграла.

^{^ J div (}_Ф ^{6Е) dV = ^ 2 ф}_а^{^ S£„ ,}

что div6E = 0), пишем 6^ = -~Jgradq>-6E dV =

4л

или окончательно

6«М=2фА.. (2,5)

а

т. е. получаем изменение энергии, выраженное через изменения зарядов. Этот результат, впрочем, заранее очевиден как работа, которую необходимо произвести над бесконечно малыми заря­дами 6е_а, чтобы перенести их к заданным проводникам из бес­конечности, где потенциал поля равен нулю. С другой стороны, можно написать

^{Ш = -i J Е Srad Ч ^ = - ^ j div (Е 6}₉^{)dK=^ £ 6}_Фа ^§E_n^df,

а

ИЛИ

6^ = 2е_а6ф_а, (2,6)

а

т. е. изменение энергии выражено через изменения потенциалов проводников.

Формулы (2,5), (2,6) показывают, что, дифференцируя энер­гию 41 по величинам зарядов, мы получаем потенциалы провод­ников, а производные от 41 по потенциалам дают значения за­рядов:

⁼ W. = ^e'- ⁽²'⁷⁾

С другой стороны, потенциалы и заряды являются линейными функциями друг друга. С помощью (2,3) имеем

д^г% _де_ь __с

а изменив порядок дифференцирования, мы получили бы С_аЬ. Отсюда видно, что

^аЬ — ^Ьа (2,8)

(и, аналогично, С^¹ = С^¹). Энергия 41 может быть представлена в виде квадратичной формы потенциалов или зарядов:

^ = т£^С«ьФ«Фб = ^2^С«б^е«^еб- (2,9)

а, Ь а, Ь

Эта квадратичная форма, как и исходное выражение (2,1), должна быть существенно положительной. Из этого условия воз­никают определенные неравенства, которым удовлетворяют коэф­фициенты С_аЬ. В частности, все коэффициенты емкости положи­тельны:

С_оа>0 (2,10)

(а также и > 0)*).

Напротив, все коэффициенты электростатической индукции отрицательны:

С_аЬ<0 (афЬ). (2,11)

Это обстоятельство очевидно уже из следующих простых сообра­жений. Представим себе, что все проводники, за исключением лишь одного (а-го), заземлены, т. е. их потенциалы равны нулю. Тогда заряд, индуцированный заряженным (а-и) проводником на каком-либо проводнике Ь, равен е_ь = С_Ьац>_а. Знак индуцирован­ного заряда противоположен знаку индуцирующего потенциала, а потому С_аЬ < 0. В этом можно убедиться, исходя из того, что потенциал электростатического поля не может достигать макси­мального и минимального значений вне проводников. Пусть, на­пример, потенциал единственного незаземленного проводника ср_а > 0. Тогда потенциал будет положителен и во всем простран­стве, так чтобы его наименьшее значение (нуль) достигалось только на заземленных проводниках. Отсюда следует, что на поверхности последних нормальная производная потенциала дц>/дп будет положительной, а их заряд согласно (1,10) —отрицательным.

С помощью аналогичных рассуждений можно убедиться в том, что С~1 > 0.

Энергия электростатического поля проводников обладает свой­ством экстремальности, имеющим, правда, не столько физический, сколько формальный характер. Для вывода этого свойства пред­ставим себе, что распределение зарядов в проводниках подвер­гается бесконечно малому изменению (при неизменном полном заряде каждого проводника), в результате которого заряды могут попасть и внутрь проводников; при этом мы отвлекаемся от того, что в действительности такое распределение зарядов не может быть стационарным. Рассмотрим соответствующее изменение интеграла

который надо представлять себе теперь распространенным по всему пространству, включая объем самих проводников (так как после смещения зарядов поле Е будет, вообще говоря, отличным

') Укажем также, что среди условий положительности формы (2,9) фигу­рируют и неравенства

СааРьЪ > С1_Ь.

от нуля и внутри проводников). Пишем

ЬЧ = -± jgrad rp • 6Е dV = --L jdiv(rp fiE)dV + ~ j Ф div 6E dV.

Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по беско­нечно удаленной поверхности, исчезает. Во втором в силу урав­нения (1,8) имеем div8E = 4nSp, так что

^{= J} _Ф^6>dV.

Но этот интеграл обращается в нуль, если ф соответствует истинному электростатическому полю: в этом случае внутри каж­дого проводника ф = const, а интегралы ^8pdV по их объемам равны нулю, поскольку полные заряды проводников остаются неизменными.

Таким образом, энергия истинного электростатического поля минимальна¹) по сравнению с энергией полей, которые были бы созданы всяким другим распределением зарядов по объему про­водников (теорема Томсона).

Из этой теоремы вытекает, в частности, такое следствие: введение незаряженного проводника в поле заданных зарядов (заряженных проводников) уменьшает полную энергию поля. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить энергию истинного поля, которое установится после введения проводника, с энергией фиктивного поля, соответствующего отсутствию инду­цированных зарядов на введенном проводнике. Первая, будучи минимально возможной, меньше второй, которая в то же время совпадает с энергией первоначального поля (так как при отсут­ствии индуцированных зарядов поле «проникло» бы внутрь про­водника, не изменившись). Этот результат можно сформулиро­вать и другим образом: незаряженный проводник, расположенный вдали от системы заданных зарядов, притягивается к ним.

Наконец, можно показать, что проводник (заряженный или незаряженный), внесенный в электростатическое поле, вообще не может находиться в устойчивом равновесии под влиянием одних только электрических сил. Это утверждение обобщает указанную в конце предыдущего параграфа аналогичную теорему для то­чечного заряда и может быть получено путем совместного при­менения последней и теоремы Томсона; мы не станем приводить здесь соответствующих рассуждений.

Формула (2,9) удобна для вычисления энергии системы про­водников, находящихся на конечных расстояниях друг от друга. Особого рассмотрения, однако, требует энергия незаряженного проводника, находящегося в однородном внешнем поле G, кото-

^ Мы не будем приводить здесь простых рассуждений, показывающих, что речь идет именно о минимуме, а не об экстремуме вообще.

рое можно представлять себе созданным зарядами, находящимися на бесконечности. Согласно (2,2) эта энергия равна *И = еф/2, где е—удаленный заряд, создающий поле, а ф— потенциал поля, создаваемого рассматриваемым проводником в точке на­хождения заряда е (из _t4L исключена энергия заряда е в его соб­ственном поле, как не имеющая отношения к интересующей нас энергии проводника). Заряд проводника равен нулю, но под влия­нием внешнего поля проводник приобретает дипольный электриче­ский момент, который мы обозначим через Потенциал поля электрического диполя на большом расстоянии г от него есть, как известно, ф = ₍^⁴г//'³. Поэтому

11 = ^^.

Но —ег/г³ является в то же время напряженностью & поля, со­здаваемого зарядом е. Таким образом,

11 = — V«^e. (2,12)

В силу линейности всех уравнений поля очевидно, что ком­поненты дипольного момента являются линейными функциями компонент напряженности (£. Коэффициенты пропорциональности между <^> и <$ имеют размерность куба длины и поэтому про­порциональны объему проводника:

р1 = Уа;_к{£_к, (2,13)

где коэффициенты а,_к зависят только от формы тела. Совокуп­ность величин Va_ik составляет тензор поляризуемости тела. Этот тензор симметричен: a_ik = a_ki (доказательство этого утверждения дано в § 11). Соответственно, энергия (2,12) представится в виде

Задачи

1. Выразить взаимную емкость С системы из двух проводников (с заря- дами ±е) через коэффициенты С_аЬ.

Решение. Взаимная емкость двух проводников определяется как коэф­фициент в соотношении р = С(ф₂— q>i), а энергия системы выражается через С посредством ^lU = e²,2C. Сравнив с (2,9), получим

_L_r-i—-J- Г-г Cii + 2C₁₂-1- С₂₂

с » ^zui2 + ^u22- c_nc₂₂-q₂ '

2. Точечный заряд е расположен в. точке О вблизи системы заземленных проводников и индуцирует на них заряды е_а. Если бы заряд е отсутствовал, а один из проводников (а-й) имел потенциал ц>'_а (остальные по-прежнему за- землены), то потенциал поля в точке О был бы q>'₀. Выразить заряды е_а через ф_а и ф₀'.

Решение. Если заряды е_а на проводниках сообщают им потенциалы ср₀, а заряды е'_а — потенциалы <р_а, то из (2,3) следует, что

2 Фа^еа = 2 ФЛьФь = 2 V'a^ea • а а, 6 а

Применим это соотношение к двум состояниям системы, составленной из всех проводников и точечного заряда е (рассматривая последний как предельный случай проводника малого размера). В одном состоянии имеется заряд е, про­водники имеют заряды е_а и потенциалы <р_о=0. В другом состоянии заряд е = 0, а один из проводников имеет потенциал (г/ Ф 0. Тогда получим ^еФо+^еаф_й = 0, откуда

^ea = —^e4'J<$'_a-

Так, если заряд е находится на расстоянии г от центра заземленного проводящего шара радиуса а (г > а), то <р'₀ = <р'_аа/г и заряд, индуцированный на шаре,

е_а = — еа/г.

В качестве другого примера рассмотрим заряд е, находящийся между двумя заземленными концентрическими сферами радиусов а и Ь на расстоя­нии г от центра (а < г < Ь). Если наружная сфера заземлена, а внутренняя заряжена до потенциала <р_а, то потенциал на расстоянии г равен

, 1/6

Фо = Ф_атт^Т7б-

Поэтому заряд, индуцированный на внутренней сфере зарядом е, равек

_ а(Ь—г) ^е°- ^€г(Ь-а)'

Аналогично, заряд, индуцированный на внешней сфере,

b (г— а)

3. Два проводника с емкостями С₁ и С₂ помещены на расстоянии г друг от друга, большом по сравнению с их собственными размерами. Определить коэффициенты С_аЬ.

Решение. Если проводник / несет заряд е_ь а проводник 2 не заряжен, то в первом приближении q>₁ = e₁/C, <f_i=e₁/r; при этом мы пренебрегаем изменением поля вдоль проводника 2 и его поляризацией. Таким образом, С-1—1[С_и C~i = l/r и, аналогично, C~j = l/C₂. Отсюда находим для коэф­фициентов С_аЬ ¹):

^cii = ^ci ^1+-^Г^ > С₁₂=— ££² , С₂₂=С₂ —pi^-2

4. Определить емкость С кольца из тонкого провода кругового сечения (радиус кольца Ь, радиус сечения провода а; 6^>а).

*) Следующие члены разложения имеют в общем случае порядок (по 1/г) на 1 более высокий, чем выписанные. Если, однако, отсчитывать г как рас­стояние между «центрами зарядов» обоих тел (для сфер — между их геометри­ческими центрами), то порядок следующих членов будет выше на 2.

Решение. Ввиду тонкости кольца поле вблизи его поверхности совпа­дает с полем, которое создавалось бы тем же зарядом, распределенным по

осевой линии кольца (это было бы точным для прямого цилиндра). Поэтому потенциал самого кольца

е г dl

где г—расстояние от данной точки поверхности кольца до элемента dl его осевой линии, по которой производится интегрирование. Разобьем интеграл на две части по областям г < Д и г > А, где Д — некоторое расстояние, такое, чтоа<«;Д<^&. Тогда при г<А можно считать ^участок кольца прямым и потому

dl 2Д

- 2 In

}^/²+а² ~ а '

А > г -Д

В области же г > Д можно пренебречь толщиной провода, т. е. считать просто расстоянием между двумя точками осевой линии кольца. Тогда

Г ^dl = ₂ \ ^bd(f =-21ntg^

J г ^ZJ 26sin(<p/2) ^{Z№ tg} 4

r > А Фо

где ф —центральный угол, на который опирается хорда г, а нижний предел интегрирования определяется из 26 sin (ф₀/2) = Д, откуда ф₀ ~ Д/6. При сло­жении обеих частей интеграла величина Д выпадает, и окончательно получаем для емкости кольца С = е/ф₀ следующее выражение:

_с _ nb ~lu (8Ь/а)'