§ 114. Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Релятивистский случай

При скоростях, сравнимых со скоростью света, влияние поля­ризации среды на торможение быстрой частицы может стать, как мы увидим, весьма существенным, причем не только в конденси­рованных веществах, но даже и в газах³⁹).

Для вывода соответствующих формул применим метод, ана­логичный использованному в предыдущем параграфе. При этом, однако, надо исходить из полных уравнений Максвелла. При наличии сторонних зарядов (с пространственной плотностью р_ст) и сторонних токов (с плотностью j_CT) эти уравнения гласят⁴⁰):

divH=0, rotE= — -i^, (П4.1)

diveE=4np_eT, rotH=4^- + ^j_CT. (114,2)

В данном случае распределение сторонних зарядов и токов да­ется формулами

_PeT = e6(r-vO, U_T = ev8(r-vt). (11-4,3)

Вводим скалярный и векторный потенциалы согласно обыч­ным определениям:

1 г) А

Н = готА, Е=*—~—gradcp, (114,4)

в результате которых уравнения (114,1) удовлетворяются тож­дественно. На потенциалы А и ср накладываем дополнительное условие

divA + J_^- = 0, ₍П4,5)

являющееся обобщением налагаемого в теории излучения условия Лоренца. Тогда подстановка (114,4) в (114,2) приводит к сле­дующим уравнениям для потенциалов:

АА —_г -ш = е\ о (г—vt),

;(д_Ф-

^С Га⁴¹ \ ^{С (П4,6)}

существенны для ионизационных потерь, вещество ведет себя как немагиитиое.

^{-^37?)==-4™S (г—vt).}

Разложим А и ф в интегралы Фурье по координатам. Взяв компоненты Фурье от обеих сторон уравнений (114,6), получим

Отсюда видно, что зависимость Ак и ф_к от времени дается мно­жителями ехр(—i7kv). Снова вводим обозначение a = k\ = k_xv и" получаем

_{Aw - ^ - е-'»<}

^{к —} с £²-со²е(со)/с^{2 е}

1 (П4,7)

^{фк —} ё~(о) fc²-co²e (со) /с^{2 в} Компонента Фурье напряженности электрического поля

Ек=^А_к-1кф_к. (114,8)

С помощью полученных формул действующая на частицу сила торможения F = eE¹) находится так же, как это было сделано в предыдущем параграфе. С теми же обозначениями получим теперь для величины этой силы следующую формулу:

-я- —4- ) Щ do dw

(114,9)

(при с—оо эта формула переходит, разумеется, в (114,5)).

Начнем с интегрирования по частотам. Имея в виду произ­водить интегрирование в комплексной плоскости со, выясним предварительно, в каких точках верхней полуплоскости подын­тегральное выражение имеет полюсы. Функция е(со) не имеет в этой области ни особых точек, ни нулей; поэтому искомыми полюсами могут быть только нули выражения

"и²)'

■Я²-

^х) Что касается магнитной силы е[\Н]/с, то из соображений симметрии очевидно, что она обращается в нуль (не говоря уже о том, что эта сила, будучи перпендикулярна к скорости частицы, вообще не производила бы над ней работы).

Покажем, что при всяком значении положительного веществен­ного числа q* это выражение обращается в нуль только при одном значении со.

Для доказательства⁴²) воспользуемся известной теоремой тео­рии функций комплексной переменной, согласно которой интеграл

¹ f^d'(^m> ^da (114 10)

2га J dco f(co)-a'

с

взятый по замкнутому контуру С, равен разности между числом нулей и числом полюсов функции /(со)—а в области, ограни­ченной контуром С. Пусть

^{/«•>—(ЧР-i).}

^{а — аг — положительное вещественное число, а в качестве С вы­берем контур, состоящий из вещественной оси и бесконечно уда­ленной полуокружности (рис. 61). Функ­ция /(со) не имеет полюсов нигде в верхней полуплоскости (и на самой вещественной оси 43)); поэтому интеграл (114,10) прямо дает число нулей функ­ции /(со) — а в верхней полуплоскости. Для вычисления пишем этот интеграл в виде}

с

причем интегрирование производится по контуру С в плоскости комплексной переменной /, являющемуся отображе­нием контура С из плоскости со. При со = 0 функция / = 0. При положитель­ных вещественных значениях со имеем Im / > 0, а при отрицательных Im / < 0. На бесконечности же / —»■ —со⁴⁴ х х (у^-2—с^-2); поэтому / пробегает бес­конечно удаленную окружность, когда со пробегает полуокружность. Отсюда видно, что контур интегри­рования С в плоскости / выглядит так, как это схематически показано на рис. 61. При положительном вещественном а (как на рис. 61) при обходе вдоль С' аргумент комплексного числа / — а меняется на 2л и интеграл (114,11) равен единице. Тем самым наше утверждение доказано⁴⁵).

Более того, легко видеть, что единственный корень уравнения /(со)—<7² = 0 лежит на мнимой оси со. Действительно, при чисто мнимых со функция / (со) (вместе с функцией е (со)) вещест­венна и пробегает все значения от 0 до оо, в том числе все по­ложительные значения q².

Вернемся к интегралу по dco в (114,9)

(еу² с² )

со dco

Его можно представить в виде разности между интегралом по контуру С и интегралом по бесконечно удаленной полуокружности. Второй из них равен

С da

\ — = т, J со

а первый равен умноженному на 2ni вычету подынтегрального выражения относительно его единственного полюса. Будем пони­мать под со(<7) функцию, определяемую равенством

СО'

(с² у² ) ~~ '

(114,12)

Тогда согласно известному правилу нахождения вычетов¹) найдем, что интеграл по С равен

2ni-

dco [ V с² v* J \ da

Собрав полученные выражения и подставив в (114,9), найдем

+ 1

⁰³ (ей² с² )

q dq/da

или, заменив в первом члене интегрирование по dq интегриро­ванием по dco,

a We)

_{J [v4 (со)}

(0(0) (о We) codco + -s-e²^ =

(о (0)

(114,13)

^l) Вычет выражения f (г)/ф (г) относительно полюса г = г₀ равен/ (г₀)Др' (г₀).

Большим значениям q соответствуют большие по абсолютной величине со корни уравнения (114,12). Воспользовавшись соот­ветственно этому выражением (113,9) для е(со), найдем

где введено обозначение

Подставив в (114,13), получим

с <?² Г Г ¹ Л a ^2nnei е²со²(0) .... ...

[тш-¹!^--^--^ ^(114,14)

а(0)

(в интеграле достаточно оставить в со(<7₀) главный член ivq_ay).

Интегрирование в (114,14) производится по мнимым значениям со. Введем вещественную переменную согласно со = too", обозначим нижний предел интеграла посредством со (0) = t£ и снова введем обозначение (113,6) 1/е = г|. Мы должны вычислить интеграл

"<7oY

— j [Т)(!С0")—l]c0"dC0".

I

Значения функции г|(со) на мнимой оси могут быть выражены через значения ее мнимой части на вещественной оси по формуле

о

(ср. формулу (82,15)). Поэтому для рассматриваемого интеграла получаем (пренебрегая х по сравнению с vq₀)

_4П'^,|,г_{У1У*-^ки1'-*Й*-}

о l о

Подставим этот результат в (114,14), причем для упрощения за­писи введем обозначение

lnQ = i_ln(co² + E²), (114,15)

где черта обозначает усреднение с весом со|г)"(со)|, как это было сделано в (113,11). Тогда получим

F (Qa) = а-'П-^тт¹ 2-+^-5-5 (1 14,16)

^v"^0/ mv² Q тс² 2v²y^{2 v} '

При дальнейшем исследовании этой формулы надо отдельно рассмотреть два случая, Предположим сначала, что среда является диэлектриком, а скорость частицы удовлетворяет условию

o²<cVe₀, (114,17)

где е₀ = е(0) — электростатическое значение диэлектрической про­ницаемости. На мнимой оси функция е (со) монотонно убывает от значения е„ > 1 при со = 0 до 1 при co = ioo. Выражение же в ле­вой стороне уравнения (114,12) при этом монотонно возрастает от 0 до оо. Поэтому при q = 0 уравнение (114,12) дает и со = 0. Таким образом, в (114,16) надо положить | = 0; при этом Q пе­реходит в среднюю атомную частоту со (113,11):

^р(Яо) = —т­

m 2с²

(114,18)

(при v<^.c эта формула, как и должно быть, переходит в (113,12)).

Значение q₀ удовлетворяет условию с7₀<^1/а, где а—порядок величины междуатомных расстояний (в конденсированной среде — размеров атомов). Для того чтобы продлить эту формулу в об­ласть больших значений передачи импульса и энергии, надо про­извести ее «сшивку» с формулами обычной теории столкновений, подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе. Здесь, однако, сшивка должна быть произведена в два этапа. Сначала с помощью формулы (113,13) переходим к области зна­чений q, соответствующих передачам энергии, большим по срав­нению с атомными энергиями, но все еще нерелятивистским. Вид формулы (114,18) при этом не изменится, но в нее можно будет ввести энергию, б-электрона, как fi²qf/2m. Обозначив ее Е_и по­лучим

my'

f(£,) = ^W

(114,19)

Далее, можно перейти в область релятивистских значений воспользовавшись формулой релятивистской теории столкновений, согласно которой торможение с передачей энергии в интервале между Е' и E'.+ dE' равно

²-^f. ("«да

если Е' мало по сравнению с максимальной передачей E_lmax, допускаемой законами сохранения импульса и энергии при столк­новении данной быстрой частицы со свободным электроном⁴⁶). Поскольку при интегрировании выражение (114,20) дает 1п£", то ясно, что вид формулы (114,19) в результате не изменится, так что она относится ко всем значениям £_х<<^£_1тах.

dE'

При торможении быстрой тяжелой частицы (с массой М^>т и энергией £ хотя и релятивистской, но такой, что Е <^.М²с²/т) максимальная передача энергии электрону составляет Е_1тах& « 2mv²y² й все еще мала по сравнению с Е (см. IV § 82, фор­мула (82,23)). Для таких частиц дифференциальное выражение торможения на свободных электронах имеет вид

2лЛ/е⁴ / 1 1

mv² \ Е' 2тс²у

при любых значениях £' (см. IV §82, формула (82,24)). Допол­нительное (по отношению к (114,19)) торможение с передачей энергии от £_х до £_1тах (причем £₁<^£i_max) составляет в этом случае

^{2j^(ln%^-ii^U^(In2J^V1_4). (П4.21)}

Прибавив это выражение к (114,19), найдем полное торможение быстрой тяжелой частицы:

_<^1|4_'²²_>

Эта формула отличается от результата обычной теории лишь оп­ределением «энергии ионизации» ha> (ср. IV, формула (82,26)).

Перейдем теперь ко второму случаю, когда скорость частицы удовлетворяет условию

У²>с²/е₀ (114,23)

(этот случай, в частности, всегда имеет место для металлов, так как у них е(0)=со). Выражение со²(е/с²—1/и²) в левой стороне уравнения (114,12) в этом случае проходит (на мнимой оси со) через нуль дважды—при со = 0 и присо = 1'|, где £ определяется равенством

e(f£) = c²/i>². (114,24)

В интервале между 0 и /| это выражение отрицательно, а при |со|>| принимает все положительные значения от 0 до со. По­этому при q —»■ 0 корень уравнения (114,12) стремится в этом случае к значению |, которое и должно быть подставленов (114,15) и (114,16).

Здесь можно различать два предельных случая. Если значение £ оказывается малым по сравнению с атомными частотами со₀, то в (114,16) можно пренебречь последним членом, a Q«co. В результате мы снова приходим к формуле (114,18). В особен­ности же интересен обратный предельный случай, когда ^^>со„. Поскольку при больших значениях % функция e(f£) стремится к 1,то из (114,24) ясно, что этот случай соответствует ультрареля­тивистским скоростям частицы. Воспользовавшись для е(со) фор­мулой (113,9), найдем из (114,24):

_ss 4nNe⁴⁷v⁴⁸y⁴⁹ 4nNe⁵⁰y⁵¹

^s mc⁵² m

При увеличении скорости частицы условие £^>со₀ в конце концов выполнится в любой среде, т. е. при любом значении электронной плотности N (в том числе и в газе). Однако необ­ходимые скорости тем выше, чем меньше N, т. е. чем более раз­режена среда.

Из (114,15) имеем теперь просто Q « |; положив такжеу«с, найдем, что последние два члена в (114,16) взаимно сокращаются и остается

_{Р . . 2яЫе}^х _{. тс}⁵³_а\

W°> — ~т~сТ ^1П Шй⁵⁴ ■

Продлив эту формулу в область больших значений передачи им­пульса и энергии таким же образом, как это было сделано выше, найдем следующее выражение для торможения ультрарелятивист­ской частицы с передачей энергии, не превышающей Е_г (причем

^{К V} тс⁵⁵ 2nNe⁵⁶P ^У '

Этот результат существенно отличается от даваемого обычной теорией, не учитывающей поляризации среды. Согласно последней (см. IV § 82) в ультрарелятивистском случае торможение F(EA продолжает возрастать при увеличении энергии частицы, хотя и сравнительно медленно—по логарифмическому закону¹)

^f₍^£i_)=-^⁵⁷_~^ln _—?зи

V"

Поляризация же среды приводит к такому экранированию заряда, в результате которого рост торможения в конце концов прекра­щается и оно стремится к конечному пределу, даваемому фор­мулой (114,25), не содержащей у.

Для тяжелых частиц можно написать формулу и для полного торможения с любой передачей энергии вплоть до Е_{х тах} (при условии, что E_lmax мало по сравнению с энергией самой частицы). Используя снова выражение (114,21) (в котором можно теперь

$115]

ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРЕНКОВА

653

положить v = c), найдем

_F_**N<L\_ln»W _!l _{(П4 26)}

Мы видим, что полное торможение все же продолжает возрастать со скоростью частицы — за счет близких столкновений с большой передачей энергии, в которых экранирующее влияние поляриза­ции среды не проявляется. Это возрастание, однако, несколько более медленное, чем согласно теории, не учитывающей поляри­зацию. Согласно последней

(см. IV, формула (82,28)); коэффициент при члене с In у здесь вдвое больше, чем в (114,26).

Отметим также, что наличие электронной плотности /V в ар­гументе логарифма в формулах (114,25—26) приводит к следую­щему свойству торможения ультрарелятивистских частиц: при прохождении такой частицей слоев различных веществ, содержа­щих одинаковое число электронов (на 1 см² их поверхности), торможение оказывается меньшим в веществе с большим N.