§ 90. Электромагнитные колебания в полых резонаторах

Рассмотрим электрическое поле в пустом пространстве, огра­ниченном идеально проводящими стенками. Уравнения монохро­матического поля в пустоте гласят:

rotE = f-^H, rotH = — i^-E. (90,1)

Граничные же условия на поверхности идеально проводящего тела (тела с импедансом £ = 0):

Е_г = 0, Я„ = 0. (90,2)

Для решения задачи достаточно рассматривать одну из величин Е или Н. Исключив, например, Н из уравнений (90,1), получим для Е волновое уравнение

ДЕ + ^Е=0, (90,3)

к которому надо также присоединить уравнение

divE = 0, (90,4)

не вытекающее автоматически из (90,1). Решая эти уравнения с граничным условием Е, = 0, определим поле Е, после чего вычисляем Н непосредственно по первому из уравнений (90,1), причем граничное условие Я„ = 0 выполняется автоматически.

При заданных размерах и форме полости уравнения (90,3) и (90,4) имеют решения лишь при вполне определенном наборе значений со. Эти значения называют собственными частотами электромагнитных колебаний данного резонатора. При £ = 0 электромагнитное поле не проникает в глубь металла и потери в нем отсутствуют. Поэтому все собственные колебания не зату­хают, т. е. все собственные частоты вещественны. Число различ­ных собственных частот резонатора бесконечно. Порядок вели­чины наименьшей из них есть со_х ~ с/1, где / — линейные размеры полости. Это очевидно уже непосредственно из соображений раз­мерности, поскольку / есть единственный размерный параметр, характеризующий условия задачи (при заданной форме резона­тора). Большие же собственные частоты (со^>с//) расположены очень близко друг к другу, причем их число, приходящееся на единичный интервал значений со, равно Усо²/2л.²с³; оно зависит только от объема резонатора V, но не от его формы (см. II §52).

Средние (по времени) значения электрической и магнитной энергии поля в резонаторе даются соответственно интегралами

Покажем, что эти две величины равны друг другу. С помощью первого из уравнений (90,1) пишем

j НН* dV = J rot Е rot Е* dV.

Второй интеграл преобразуем по частям:

^{J rot Е rot M*dV = § rot Е* [di Е] + J Е rot rot E* dV.}

Поскольку на границе объема Е, = 0, то интеграл по поверхно­сти обращается в нуль и остается

j | Н |² dV - ~ j Е rot rot Е* dV = — ~ j Е ДЕ* dV, или, ввиду (90,3),

$|Н|²еО/ = $|E|»dV, (90,5)

что и требовалось доказать¹).

Незатухающие колебания в резонаторе получаются в предполо­жении равного нулю импеданса его стенок. Выясним теперь, ка­кое влияние на собственные частоты оказывает наличие у стенок малого, но все же конечного импеданса.

^]) Мы понимаем везде под Е и Н напряженности поля, соответствующего одной определенной собственной частоте. Не представляет также труда по­казать, что поля, соответствующие двум различным собственным частотам со_а и удовлетворяют соотношениям ортогональности:

[ E_aE*_bdV=[ H_aH_bdV = 0.

Среднюю (по времени) энергию, диссипируемую в 1 с в стен­ках резонатора, можно вычислить как поток энергии, втекающей в стенки из электромагнитного поля в полости. Учитывая гра­ничное условие (87,6) на поверхности тела с импедансом £, напи­шем нормальную составляющую плотности потока энергии:

(£' — вещественная часть £). В этом выражении, которое уже со­держит малый множитель в первом приближении можно по­нимать под Н поле, получающееся при решении задачи с t = 0. Полная диссипируемая энергия дается интегралом

^£'|H|Mf, (90,6)

взятым по внутренней поверхности резонатора. Декремент зату­хания амплитуды поля со временем получится делением этой ве­личины на удвоенную полную энергию поля, равную

Tij^>(l^El² + l^Hl²)^=^j^>|H|

dV.

Декремент . затухания совпадает с мнимой частью [со"| ком­плексной частоты со = со' + т"^]). Написав формулу в комплексном виде

_к с£е|Н|«#

<a-fi.₀ = -yi (90,7)

¹ J I Н |» dV

(со и <в₀—значения частоты с учетом и без учета £), мы можем с ее помощью определить не только декремент затухания, но и сдвиг самих собственных частот. Последний, как мы видим, оп­ределяется мнимой частью £. В § 87 было указано, что обычно £" < 0; при этом сдвиг собственных частот происходит в сторону их уменьшения.

Для фактического вычисления может оказаться удобнее пре­образовать стоящий в знаменателе (90,7) объемный интеграл в ин­теграл по поверхности.

Ввиду тангенциальности вектора Н к поверхности пишем тож­дественно

§ (НН*) (г di) = § (НН*) (г di) -§ (Нг) (Н* di)-§ (Н*г) (Н di).

Стоящие справа интегралы преобразуем в объемные заменой di —+• —>-dV-\\ используя при этом уравнения (90,1), получим

/(HH*)(rdf)= ik Jr([HE*]-[H*E])dV+$ W\i*dV.

^]) В радиотехнике обычно вводят вместо декремента затухания | со" I так называемую добротность резонатора, определяемую как отношение со'/2 | со" J.

Аналогичным образом, учитывая тождество [г [Е di]] = Е (г di) — — (rE)cif = 0 (являющееся следствием граничного условия E_t=0), получим

§ (ЕЕ*) (г d\) = — f (ЕЕ*) (г di) + § (Ег) (Е* df)+§ (ЕТ) (Е di) =

= ik \ г ([НЕ*] — [Н*Е]) dV— \ EM*dV.

Вычитая почленно друг из друга оба полученных равенства и учитывая (90,5), получим формулу

j | Н |²dV = | <f (I Н |²-| Е |²) (г di). (90,8)

Все формулы для резонатора, полость которого заполнена не-поглощающей диэлектрической средой с отличными от 1 значе­ниями е и р, получаются из формул для пустого резонатора пу­тем замены в них:

со,Е,Н-+со1/ф, У"ёЕ,1/рН. (90,9)

Это ясно из того, что при таком преобразовании уравнения (90,1) переходят в правильные уравнения Максвелла в среде

rotE = / — uH, rotH = — i — eE.

с ^r с

В частности, наличие среды уменьшает все собственные частоты в У~щх раз.

Задачи

1. Определить частоты собственных колебаний в резонаторе с идеально проводящими стенками, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда.

Решение. Оси х, у, г выбираем по трем ребрам параллелепипеда, име­ющим длины а_ъ а₂, а₃. Решения уравнений (90,3) и (90,4), удовлетворяющие граничному условию Ef = 0:

Е_Х = А₁ cos k_xx sin k_yy sin kzZ-e-i®¹ (1)

и аналогично для E_y, E_z, где

k_x = ⁿJ*, k_v=^, k_z = ⁿ-^ (2)

(n_b n₂, n₃ —целые положительные числа); постоянные А_ъ А₂, А₃ связаны со­отношением

A₁k_x + A₂k_y + A₃k_z = 0, (3)

а собственные частоты

_Ш» = _С» (_kl _{+ k}* _{+ k}l).

Магнитное поле вычисляется из (1):

^Нх=~¹^ (^A3k_y — A₂k_z) sin k_xx cos k_yy cos k_zz-e~^m и аналогично для Н_у, H_z.

Если все три или два из чисел n_lt п₂, п_я равны нулю, тоЕ = 0. Поэтому первой (наименьшей) частоте соответствует колебание, в котором одно из этих чисел равно нулю, а два — единице.

Ввиду наличия связи (3) решение (1) (с заданными отличными от нуля п_х, п₂> «з) содержит всего две независимые произвольные постоянные, т. е. каж­дая собственная частота двукратно вырождена. Частоты же, для которых одно из чисел tii, «2. «з равно нулю, не вырождены.

2. Определить частоты дипольно-электрических и дипольно-магнитных ко­лебаний в сферическом резонаторе (радиуса а).

Решение. В стоячей сферической волне дипольно-электрического типа поля Е и Н имеют вид

E = e-'u>'rot rot (^-tb) , Н = rot

где b — постоянный вектор, а й = сп/с (см. II §72). Граничное условие [пЕ] = 0 при г = а приводит к уравнению

ct? ka—r ka.

^ь ka

Его наименьший корень есть /?а = 2,74. Частота со = 2,74 с/а есть наименьшая из всех собственных частот сферического резонатора.

В стоячей сферической волне дипольно-магнитного типа

E=«*_e-™rot (^S-^b) , H = _e-«*rotrot (*-^Ъ

Граничное условие для Е приводит к уравнению

tg ka = ka.

Его первый корень: &г = 4,49.

3. В резонатор внесен маленький шарик с электрической и магнитной поляризуемостями а_е и а_т. Определить вызванный этим сдвиг собственной частоты резонатора.

Решение. Пусть Е, Н—напряженности поля в резонаторе без шарика, a Ei, Hi — в его присутствии. Поля Е и Н удовлетворяют уравнениям (90,1), a Ej и Hi — уравнениям

rotE_{1 =} -^-Hi, rot H_t = — и ^-Е_ь (1)

где ji — плотность тока в шарике. Умножим первое уравнение (1) наН*, вто­рое на —Е*, произведем комплексное сопряжение над уравнениями (90,1) и умножим первое из них на Hi, а второе на —E_t. Сложив затем все четыре уравнения, получим

div {[EiH*] + [E*Hi]}.~ i(Н,Н* + Е,Е*)-4^ JiE*.

где 6co=fi>i — со — искомый сдвиг частоты. Проинтегрируем это равенство по объему резонатора. Левая сторона преобразуется по теореме Гаусса и исчезает, так как на стенке Е/ = 0, Е^ = 0. Ввиду малых размеров шарика основной вклад в интеграл от первого члена справа возникает на больших расстояниях от него; с другой стороны, на этих расстояниях производимое шариком воз­мущение поля мало, так что можно положить E_t ~ Е, H_t х Н. Интеграл же от второго члена преобразуется подобно тому, как это делалось в § 89 (и в задаче 1 к нему), и дает

^{J hE* dV=- (со («^Е'о+ЖНо ) = - iW„ (а}_е ^{| Е}₀ ^{|3 + а}_и ^{| Н}₀ ^|2),

где E_n^sE(r₀), Н₀ = Н(г₀); г₀ — координаты шарика, V₀— его объем; подразу­мевается, что размеры шарика настолько малы, что изменением полей Е, Н на них можно пренебречь.

Таким образом, с учетом (90,5), находим для искомого сдвига частоты:

бсо a_e|E₀|2 + g_ffi|H₀l²_T,

Если поляризуемости комплексны, эта формула дает как сдвиг частоты собст­венных колебаний, так и их затухание.

4. Резонатор заполнен прозрачным диэлектриком без дисперсии с диэлек­трической проницаемостью е₀. Определить изменение собственной частоты при малом изменении 6к (г) диэлектрической проницаемости.

Решение. Невозмущенное поле Е„, Н₀ в резонаторе удовлетворяет уравнениям

rotE₀ = -^H₀, rotH„ = -^E₀, а возмущенное поле Е, Н — уравнениям

rot Е = ' ' ^ Н, rot Н = '^l— ((0₀Fo+^wo68 4-E₀6(0) Е

(членом с 6(о бе пренебрегаем). Поступив с этими четырьмя уравнениями, как в предыдущей задаче, получим

div{[EHo] +[Eo^fH]} = y((o₀6e + e₀6(o) ЕЕо +уёсо ННо «

я Y (со₀6е + е_с6со) Е₀Е₀* + -^- бсо Н₀Но>

и затем:

8со_ ^|Е„ I'fledV

^м» 2e_e$|E„|w'

При переходе к последней формуле учтено, что для заполненного диэлектри­ком резонатора соотношение (90,5) приобретает вид

^{J |H}₀^{|2dV^e}₀ ^{J |E}₀^|2dV,

как это ясно из (90,9).