§ 89. Принцип взаимности

Излучение монохроматических электромагнитных волн от ис­точника, представляющего собой тонкий провод, расположенный в произвольной среде, описывается уравнениями

rotE = ^B, rotH=-^D + i+j_CT, (89,1)

где j_cr — плотность протекающих по проводу «сторонних» (по отношению к среде) периодических токов.

Пусть в среде расположены два различных источника (оди­наковой частоты); будем отмечать индексами 1 и 2 поля, созда­ваемые каждым из этих источников в отдельности. Среда может быть произвольным образом неоднородна и анизотропна. Един­ственное, что предполагается ниже о ее свойствах, это — линей­ные соотношения D_i = e_ikE_k, Bi = \i_ikH_k с симметричными тензо­рами e_ik и \i_ik. В этих условиях оказывается возможным полу­чить определенное соотношение, связывающее между собой поля обоих источников и сторонние токи в них.

Умножим оба уравнения

rotE^tJfeBi, rotH_{1 =} — t^Dj + ^jW

соответственно на Н₂ и Е₂, а такие же уравнения для поля Е₂, Н₂ — на—H_t и —Е_х. Сложив почленно все эти уравнения, по­лучим:

(Н₂ rot Е₁ — Е₁ rot Н₂) + (Е₂ rot H_t— H_t rot E₂) =

= i£ (BjH₂ — HjB₂) + i £ (EJ), - D^,) + ^(£>E₂- jg>EO.

Ho BjH₂ = р,₆Я_1йЯ₂,- = Н^г, E₁D₂ = D₁E₂, так что два первых члена в правой стороне равенства обращаются в нуль. Левая же сторона преобразуется по известной формуле векторного анализа, и мы находим

div{[E₁H₂]-[E₂H_]]} = -^(j<¹_T»E₂-0E₁)-

Проинтегрируем это равенство по всему пространству; интеграл в левой стороне равенства преобразуется в интеграл по беско­нечно удаленной поверхности и исчезает. Поэтому получим

S m.dV^l midV_t. (89,2)

Интегралы в левой и правой сторонах берутся соответственно лишь по объемам первого и второго источников, так как только в них отличны от нуля токи 0 и Ввиду тонкости проводов влиянием каждого из них на поле другого провода можно пре­небречь, и, таким образом, Ej и Е₂ в формуле (89,2) представ­ляют собой поля излучений первого и второго источников, со­здаваемые каждым из них в месте нахождения другого источ­ника, как если бы последнего не было. Формула (89,2) и яв­ляется искомым соотношением, известным под названием теоремы взаимности.

Если размеры источников малы по сравнению с длиной волны, а также по сравнению с их взаимным расстоянием, то выраже­ние теоремы взаимности можно упростить. Поле каждого источ­ника слабо меняется на протяжении размеров другого источника, и в (89,2) можно вынести Е_х и Е₂ из-под знаков интеграла, написав их просто как Ej(2) и Е₂(1), где 1 и 2 обозначают точки нахождения обоих источников:

E₂(1)J j<_TW₁ = E₁ (2)J №dV₂.

Интеграл Jj_CT<il/ есть не что иное, как производная повремени от полного дипольного момента источника Поскольку =

ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ

427

=—ш$>, то окончательно имеем

Е₂(1)«^₁ = Е₁(2)«^₂. (89,3)

Такая форма теоремы взаимности применима, разумеется, лишь к дипольному излучению. Если же дипольный момент источника равен нулю (или аномально мал), то приближение, сделанное при переходе от общей формулы (89,2) к (89,3), недостаточно (см. задачу 1 к этому параграфу).

Задачи

1. Вывести теорему взаимности для квадрупольных и магнитно-дипольных излучателей.

Решение. Если ^j_CTrfl^/ = 0, то в интегралах (89,2) надо взять следую­щие члены разложения:

(индекс «ст» у j для краткости опускаем). Вводим тензор квадрупольного момента и вектор магнитного момента согласно

t>ik = — i®D_ik= ^ (3 (xij_k + x_kji) — 26,-_fcrj} dV,

Воспользовавшись уравнением rot E = icoB/c и считая, что вблизи источников e=const (в силу чего divE = 0), получим

Отсюда видно, что для квадрупольных излучателей теорема взаимности гласит:

fdE_tt (1) дЕ_2к(\)\ _DU)(dE_u(2) , dE_lk(2)\_D(_t> V dx_k "г дх{ ) ¹ \ дх_к "г дх₍ ) ¹ '

а для магнитно-дипольных

В,(1)Ж₁ = В₁ (2) JH_а.

2. Определить зависимость интенсивности излучения дипольного источ- ника, погруженного в однородную изотропную среду, от проницаемостей е и (X среды.

Решение. В результате подстановки

^{Е=уГ^-Е', Н = Н', ш = -}_г^{^=-}

со

уравнения (89,1) принимают вид

._. . ... т' _. . 4л

не содержащий е и (х. Решение этих уравнений для дипольного излучения приводит к векторному потенциалу поля в волновой зоне (см. II § 67):

R₀ — расстояние от источника; здесь и ниже мы опускаем несущественные для вычисления интенсивности фазовые множители. Отсюда видно, что при заданном j_CT можно написать А' = А₀, где индекс 0 отличает поле источника в пустоте. Для величин Н', Е' имеем:

Н' = ! [к'А'1 = 1'К"ф[^кАо]= К"ё(хН„, Е' = Н'.

Отсюда

Н=У"фНо, Е = ц£₀,

и для интенсивности:

/=/„₍х³/_2е^,/_2> чем и решается поставленная задача.