§ 88. Распространение волн в неоднородной среде

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в элект­рически неоднородной (но изотропной) среде. В уравнениях Максвелла

rot Е = — Н, rot Н = — ie — Е

с ' с

(полагаем везде р=1) е есть функция координат точки. Под­ставив Н из первого уравнения во второе, получим для Е урав­нение

ДЕ + ^Е — grad div Е = 0. (88,1)

Исключение же Е дает для Н уравнение

AH + 5-²H + |[Ve-rotH] = 0. (88,2)

Эти уравнения существенно упрощаются в одномерном случае, когда е меняется лишь в одном направлении в пространстве. Выберем это направление в качестве оси г и рассмотрим волну, направление распространения которой лежит в плоскости хг. В такой волне все величины не зависят вовсе от координаты у, а ввиду однородности пространства вдоль оси х можно рассмат­ривать зависимость от х, даваемую множителем е^{кх с постоян­ным х. При х = 0 поле зависит только от z, т.е. речь идет

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

421

о нормальном прохождении волны через слой вещества с e = e(z). Если же кфО, то говорят о наклонном прохождении волны.

При этом надо различать (при к Ф 0) два независимых слу­чая поляризации. В одном из них вектор Е перпендикулярен к плоскости распространения волны (т. е. направлен вдоль оси у), а магнитное поле Н соответственно лежит в этой плоскости. Уравнение (88,1) принимает вид

gf+(e^-x*)£=0. (88,3)

В другом случае вдоль оси у направлено поле Н, а Е лежит в плоскости распространения. В этом случае удобнее исходить из уравнения (88,2), которое дает

&(f'£)+(£-£)»-»• <⁸⁸'⁴>

Будем условно называть эти два типа волн соответственно Е - и Н-волнами.

Уравнения могут быть решены в общем виде в важном слу­чае, когда условия распространения близки к условиям геомет­рической оптики; функцию е (г) предполагаем ниже вещественной В уравнении (88,3) величина 2n/Vf, где

f (2) = е_тг—х²,

играет роль длины волны в направлении оси г. Приближению геометрической оптики соответствует неравенство

^Yf<U (88,5)

а два независимых решения уравнения (88,3) имеют вид

^exp(±;jY/d₂). (88,6)

^]) Уравнение (88,3) имеет формальное сходство с уравнением Шредингера для одномерного движения частицы в квантовой механике, а приближению геометрической оптики соответствует квазиклассический случай. Ниже мы приводим окончательные результаты, отсылая за выводом их к другому тому этого курса — см. Ill, гл. VII.

Условие (88,5) заведомо нарушается вблизи точки отражения (если таковая имеется), в которой / = 0. Пусть это есть точка 2 = 0, причем / > 0 при 2<0 и / < 0 при z > 0. На достаточно больших расстояниях по обе стороны от точки 2 = 0 решение? уравнения (88,3) имеет вид (88,6), но для того чтобы установить соответствие между коэффициентами в этом решении в областях 2>0 и 2 < 0, надо исследовать точное решение уравнения (88,3) вблизи 2 = 0. В окрестности этой точки функцию f (г) можно

разложить по степеням г и представить в виде / = — аг. Решение уравнения

&^гЕ

конечное при всех г, есть

£ = -А-ф(а'/.₂), (88,7)

а ⁶

где

_°^)=7^1^C0S _{^J_T+^U_t)^du

о

— функция Эйри (множитель ехр (— Ш+Ых) в Е везде опускаем)¹). Асимптотический же вид решения уравнения (88,3) при больших |z | есть

При 2 < 0,

(88,8)

При 2 > 0,

⁴ о ^J

с тем же коэффициентом А, что и в (88,7). Первое из этих вы­ражений представляет собой стоячую волну, получающуюся в результате наложения падающей (в положительном направле­нии оси г) волны и волны, отраженной от плоскости 2 = 0. Ам­плитуды этих волн одинаковы (и равны A/2f¹/*), т. е. коэффи­циент отражения равен единице. В область 2 > 0 проникает лишь экспоненциально затухающее поле.

При приближении к точке отражения амплитуда волны воз­растает, как это видно уже из наличия f¹/* в знаменателе в (88,8). Для определения величины поля в непосредственной близости этой точки надо, однако, воспользоваться выражением (88,7). Эта функция монотонно убывает в глубь области z > 0 и имеет осциллирующий характер в области 2 < 0, причем величина максимумов |£| постепенно убывает. Первый, наибольший из ма­ксимумов достигается при а'^/зг = —1,02 и равен

£ = 0,949-Ла-'/..

¹) Мы пользуемся здесь тем же определением функции Эйри, что и в дру­гих томах этого курса. В настоящее время, однако, более употребительно определение

А1|=Ф(|)//я.

До сих пор мы писали решения для £-волн. Легко видеть, что в приближении геометрической оптики вполне аналогичные формулы могут быть написаны и для Я-волн. Если сделать в уравнении (88,4) подстановку Н=иУъ, то производные от е войдут умноженными только на и (но не на и'); пренебрегая за­тем членами, содержащими эти производные (малыми в силу условия (88,5)), получим для функции и (г) уравнение

(Pit . I ECO² „ \ _А

совпадающее с уравнением (88,3). Поэтому все формулы для Я отличаются от формул (88,6—8) лишь множителем j/g.

Своеобразное отличие в поведении обоих типов волн возни­кает при отражении наклонно (х Ф 0) падающей волны от слоя вещества, в котором г(г) проходит через нуль. Отражение про­исходит при этом от плоскости, на которой /(г) = есо²/с² — х² = 0, т. е. «не доходя» до точки е = 0. £-волна проникает за эту пло­скость лишь в виде экспоненциально затухающего поля. При отражении же Я-волны на общем фоне такого затухающего поля возникает вблизи точки е = 0 резкое усиление поля (К. Forster-Ung, 1949)^г). Рассмотрим это явление.

Пусть 8 = 0 в точке г = 0. Вблизи этой точки пишем

е = — аг, а>0, (88,9)

и уравнение (88,4) принимает вид

d²H 1 dH /осо² \ _и . _/00 ,

dz² F "с²" ² + x²J Я = 0. (88,10)

Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, одно из решений этого уравнения (назовем его Я_х) не имеет особенности при г = 0, а его разложение при малых г начинается с z²:

^(z) = z²+...

Второе независимое решение обладает логарифмической особен­ностью и его разложение имеет вид

Я₂ (z) = lnxz + Jr+.. .

^г) Отметим, что эта точка является особой для уравнения (88,4), и по­тому вблизи нее приближение геометрической оптики становится непримени­мым, несмотря на то, что / (г) ие обращается в нуль и условие (88,5) может не нарушаться.

(параметр а появляется лишь в более высоких членах раз­ложения). Для определения поля вблизи точки z = 0 нет необхо­димости анализировать вопрос о выборе линейной комбинации из Н₁ и Я₂, удовлетворяющей условиям на бесконечности. До­статочно заметить, что она стремится при г —> 0 к постоянной

(обозначим ее Я₀) и имеет логарифмическую особенность:

наряду с постоянной здесь выписан также главный член с осо­бенностью. Электрическое поле определяется по полю Н_у = Н уравнениями Максвелла

Р к дН_ g ic дН

^х есо дг ' ^z есо дх

Вспомнив, что зависимость Н от х дается множителем е^Ых, на­ходим главные члены в Е_х и E_z:

—In xz, E_z^H₀ — ~. (88,11)

Они обращаются при г —* 0 в бесконечность.

В действительности, разумеется, благодаря непременному на­личию в среде хотя бы малого поглощения поле достигает лишь относительно (по сравнению с окружающим слабым фоном) боль­ших, но конечных значений. Интересно, однако, что уже сколь угодно малая мнимая часть в е приводит к конечной диссипации энергии. Положим е = — az-И'б, б—> + 0. Тогда аналитическое продолжение логарифма в (88,11) с правой полуоси z на левую должно производиться в комплексной плоскости z снизу, и при г < 0 будет

Средний (по времени) поток энергии вдоль оси z, S_z = ^Re(E_xHl)

(см. (59,9а)), равен нулю при z > 0, а при z < 0 появление в Е_х вещественной части приводит к отличному от нуля потоку энер­гии по направлению к плоскости 2 = 0, где эта энергия дисси-пируется *):

⁵«=1ёг^я* <⁸⁸>¹²)

(В. Б. Гильденбург, 1963).

¹) Этот результат можно получить и исходя из выражения (80,4) для энергии, диссипируемой в единице объема:

_п_ сое" |Е|² хУЯ² ,. б y.VHl ,, ,

⁴ ШГ~ ~ ~ШГ _бТо л»+ 6»—ШГ ^{0 (2):}

интегрирование по z приводит к (88,12).

§89]

ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ

425

Задача

По границе раздела между двумя средами соответственно с положитель­ной и отрицательной диэлектрическими проницаемостями (ej и —| е₂1) может распространяться поверхностная Я-волна, затухающая в глубь обеих сред. Определить связь между ее частотой и волновым вектором.

Решение. Выберем границу раздела в качестве плоскости ху, причем волна распространяется вдоль оси х, а поле Н параллельно оси у. Пусть полупространство г > 0 заполнено средой с положительной (ej), а полупро­странство г < 0—средой с отрицательной (е₂) проницаемостью. Ищем поле в затухающей при г —* ± со волне в виде

Н₁ = H₀e^ikx~^^z, щ = |А²-~ _б1 при г > О,

H₂ = H₀e^ikx+^, х₂= )А²+~|е₂| при г < О,

причем k, щ, и₂ вещественны. Граничное условие непрерывности Н_у = Н уже удовлетворено, а условие непрерывности Е_х дает

1 <ЭЯ, 1 дН₂

т-*= з-² при z = 0,

Ej dz е₂ дг ^г

или X]7ej = >c₂/| E₂f. Это равенство может быть выполнено лишь при условии

Ei < I е₂ |

(и подразумевающемся е^г < 0). При этом связь между ft и со дается урав­нением

£_{2 =} J£²EiJ_e₂_|_ с²(|е₂|—ej) '

Распространение же поверхностных Я-волн, как легко убедиться, вообще невозможно.