§ 86. Отражение и преломление волн

Рассмотрим отражение и преломление монохроматической плоской электромагнитной волны на плоской границе раздела между однородными средами. Падение происходит из прозрачной среды (среда 1); для второй же среды предположения о прозрач­ности пока делать не будем. Будем отмечать величины, относя­щиеся к падающей и отраженной волнам, соответственно индек­сами 0 и 1, а к преломленной волне — индексом 2 (рис. 46). Направление нормали к плоскости раздела выберем в качестве оси z (с положительным направлением в глубь среды 2).

^]) Эта формула описывает так называемый эффект Фиэо, впервые пред­сказанный Френелем (A. Fresnel, 1818). Влияние дисперсии на этот эффект рассмотрено Лорентцем (Н. A. Lorentz, 1895).

Ввиду полной однородности в плоскости ху, зависимость ре­шения уравнений поля от этих координат во всем пространстве должна быть одинаковой. Это значит, что компоненты k_x, k_y волнового вектора для всех трех волн одинаковы. Отсюда сле­

дует прежде всего,, что направления распространения всех волн лежат в одной плоскости; выберем ее в качестве плоскости хг. Из равенств

*0*= (86,1)

Следует для г-компонент этих векторов: K_z = — К = — -7- Уч^{cos 0}о,

^kiz = тг е₂ —feL = 7^82—8! sin² 0_О;

(86,2)

в обеих средах полагаем р=1. Вектор к₀, по определению, ве­ществен. Вместе с ним веществен также к_х. Величина же k_2z в

поглощающей среде комплекс­на, причем корень должен быть взят с таким знаком, чтобы было Im k_2z > 0 в соответствии с тем, что преломленная волна зату­хает в глубь среды 2.

Если прозрачны обе среды, то из равенств (86,1) следуют известные законы отражения и преломления

Для определения амплитуд Рис. 46. отраженной и преломленной

волн надо обратиться к гранич­ным условиям на поверхности раздела (z = 0). При этом мы рассмотрим отдельно два случая — когда электрическое поле Е„ лежит в плоскости падения или перпендикулярно к ней; тем самым мы рассматриваем и общий случай, когда Е„ может быть разложено на две такие компоненты.

Предположим сначала, что Е„ перпендикулярно к плоскости падения; из соображений симметрии очевидно, что то же будет относиться и к полям Ei и Е₂ в отраженной и преломленной волнах. Вектор же Н лежит в плоскости хг. Граничные условия требуют непрерывности Е_у = Е и Н_х¹); согласно (83,3) Н_х — = — ck_zE_y/(o.

sin й;

sin 0,

вх = е„

У е₂

По

(86,3)

	г	/
®		h
		1
	у
®

^г) Граничные условия для нормальных компонент В и D не дают в дан­ном случае ничего нового, в соответствии с тем, что уравнения divB = 0, divD = 0 являются следствием уравнений (83,1).

Поле в среде / есть сумма полей падающей и отраженной волн, так что мы получаем два уравнения:

Е₀-\- E_t = Е₂, k_oz(E₀ Ey) = k_2zE₂.

Экспоненциальные множители в Е сокращаются в обеих сторонах равенства ввиду одинаковости k_x (а также частоты со) во всех трех волнах; ниже под Е подразумеваются везде комплексные амплитуды волн. Решение написанных уравнений приводит к следующим формулам Френеля:

g ₌ Кг —Кг £ _ i COS Bp — Уъ₂ — e_t siп² б,, £ Кг + Кг ⁰ УEi cos 6₀ + Уг₂—Ei sin² 9₀ °'

£ _ ²Kz £ _2 У el cos 8₀ £

² Кг^гКг ⁰ У Ei cos 6₀-f V&₂ — e_x sin² 0₀ ⁰

(86,4)

Если прозрачны обе среды, то с помощью соотношений (86,3) можно представить эти формулы в виде

р _sm (б₂—е₀) р р 2co_Se₀sine₂ „ _я _

^Cl~sin(e₂+e„)^£°' ^С2~ sin₍e₂+e₀) ^с°- (^ак>>°)

Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда Е лежит в плоскости падения; при этом удобнее производить вы­числения для магнитного поля, перпендикулярного к плоскости падения. В результате получаются еще две формулы Френеля:

А _ e₂fe₀2 — EiKz fj _бг ^c°s Pq—V e_x (e₂ —Ei sin²6₀) ^

¹ ^КгЛ-ЧКг ° E₂ COS 6₀ + У Ei (E₂ - Ё! Sin² 6₀) ⁰

fj _ 2e₂Kz fj _2e₂ cos e₀ ^

² 4Kz + 4Kz ° E₂COS %+УE!(E₂ —Ej Sin²6₀) °

(86,6)

Если прозрачны обе среды, то эти формулы можно представить в виде

гг tg(0₀-6₂)„ „ _ sin26,, „

^1_1_е(е₀+о₂)^л°' ^Л2"-₈т₍е₀+е₂)со5(е₀-е₂)^л°- (^т''>

Коэффициент отражения R определяется как отношение среднего (по времени) отраженного от поверхности потока энер­гии к падающему потоку. Каждый из этих потоков дается сред­ним значением г-компоненты вектора Пойнтинга (83,11) соответ­ствующей волны:

_R. _ КвГсозбПЕ! [²₌ |E_L[² УEiCosOolEo |² 1^Ео|²

R

(86,8)

^{При нормальном падении (8}₀ ^{= 0) оба случая поляризации эквивалентны и коэффициент отражения дается формулой}

У ч+У ч

Эта формула справедлива как для прозрачной, так и для погло­щающей отражающей среды. Если ввести п₂ и щ согласно j/g₂ = ft₂-f-i'x₂, то, например, при падении из пустоты (8_Х = 1) получим

fe-ps+ttl _{86 9)}

Дальнейшее обсуждение полученных формул произведем в пред­положении прозрачности обеих сред. Предварительно сделаем сле­дующее общее замечание. Граница раздела между двумя различными средами представляет собой в действительности не геометрическую поверхность, а тонкий переходный слой. Справедливость формул (86,1) не связана с какими бы то ни было предположениями о характере этого слоя. Вывод же формул Френеля, основанный на использовании условий на границе раздела, предполагает ма­лость толщины переходного слоя б по сравнению с длиной волны к. Обычно толщина б сравнима с междуатомными рассто­яниями, во всяком случае малыми по сравнению с к (в противном случае было бы вообще невозможным макроскопическое рассмо­трение поля); поэтому и условие к'^>8 обычно выполняется. В обратном же предельном случае явление преломления имело бы совсем другой характер. При 6 3^>А. выполнены условия приме­нимости геометрической оптики (к мало по сравнению с разме­рами неоднородностей среды). Поэтому в таком случае можно было бы рассматривать распространение волны как распростра­нение лучей, испытывающих в переходном слое рефракцию, но проходящих через него без всякого отражения. Другими словами, коэффициент отражения был бы равен нулю.

*) Мы оставляем пока в стороне случай так называемого полного отра­жения (см. ниже).

²) Отражение от поглощающей среды приводит, вообще говоря, к возник­новению эллиптической поляризации. Явные выражения для амплитудных и фазовых соотношении между тремя волнами при этом очень громоздки. Их можно найти в книге Стрэттона Дж. А. Теория электромагнетизма, гл. IX.—М.: ГТТИ, 1948 [Stratton J. A. Electromagnetic Theory, ch. IX.— N.Y.: McGraw-Hill, 1941).

Вернемся к формулам Френеля. При отражении от прозрач­ной среды коэффициенты пропорциональности между Е,, Е₂ и Е₀ в этих формулах вещественны *). Это значит, что фаза волны либо остается неизменной, либо испытывает скачок на л, смотря по знаку этих коэффициентов. В частности, фаза преломленной волны всегда совпадает с фазой падающей волны. Отражение же может сопровождаться изменением фазы²). Так, при нормальном падении фаза волны не меняется, если г_г > s₂. Если же 8₂ > то векторы Ej и Е₀ имеют противоположные знаки, т. е. проис­ходит изменение фазы волны на п.

Коэффициенты отражения при наклонном падении даются со­гласно (86,5) и (86,7) формулами

Р sin² (9_g-9„) _ tg²(e₂-0_o)

^-5_1П²(0₂ + е_и)' ~tg²(3₂+e₀r l^Bb«^lu)

Здесь и ниже индексы J_ и || отмечают случаи, когда поле Е соответственно перпендикулярно или параллельно плоскости па­дения. Отметим следующую симметрию: выражения (86,10) не меняются при взаимной замене 8₂ и 8₀ (фазы же отраженных волн при этом меняются, согласно формулам (86,5) и (86,7), на я). Другими словами, коэффициент отражения для волны, падающей из среды / под углом 8₀, равен коэффициенту отраже­ния для волны, падающей из среды 2 под углом 0₂.

Замечательным свойством обладает отражение света, падаю­щего под таким углом 0„, при котором 0_о + 0₂ = я/2 (отражен­ный и преломленный лучи при этом взаимно перпендикулярны). Обозначим это значение посредством Q_p; написав sin 0^ = = sin (л/2 — 0,) = cos0₂ и воспользовавшись законом преломления (86,3), получим

tge^J/eTeT- (86,11)

При 6₀ = 8_р имеем tg(8₀ + 8₂) = oo и R_n обращается в нуль. Поэтому при любом направлении поляризации света, падающего под этим углом, отраженный свет будет поляризован так, что электрическое поле в нем перпендикулярно к плоскости падения. Таким же поляризованным будет отраженный свет и при падении естественного света; все компоненты с другой поляризацией при этом вообще не отразятся. Угол 0^ называют углом полной поля­ризации или углом Брюстера. Отметим, что, в то время как отражение может приводить к полной поляризации естественного света, в преломленном свете полная поляризация не достигается ни при каком угле падения.

Отражение и преломление поляризованного света всегда при­водит снова к плоскополяризованному свету, но с направлением поляризации, вообще говоря, не совпадающим с таковым у па­дающего света. Пусть у₀—угол между направлением Е₀ и плоско­стью падения, а у, и у₂— аналогичные углы для отраженной и преломленной волн. С помощью формул (86,5) и (86,7) легко получить соотношения

tgYi = —^{e^+e^gv*" ^т₂ = со₈(е₀-е₂)_1§То. (86,12)

Углы у₀, у_г совпадают при всех углах падения лишь в оче­видных случаях 7о = 0 и у₀ = я/2; они совпадают также при нор­мальном (0_О = 0₂ = О) и скользящем (0_о = л/2) падениях (в послед­нем случае преломленная волна вообще отсутствует). Во всех же остальных случаях из (86,12) следуют (учитывая, что

0 <8₀₎8₂ < л/2 и полагая, что 0 < у₀ < л/2; 0 < у_и у₂ < л) нера­венства

Ti > То > Ъ-

Таким образом, направление Е при отражении поворачивается от плоскости падения, а при преломлении — к ней.

Сравнение двух формул (86,10) показывает, что при всех углах падения (за исключением только 9_U = 0 и 8₀ = л/2)

Ян <#х-

Поэтому, например, при падении естественного света отраженный свет оказывается частично поляризованным с преимущественным направлением электрического поля, перпендикулярным к плоско­сти падения. Преломленный же свет будет частично поляризо­ванным с преимущественным направлением Е в плоскости па­дения.

Характер зависимости R_n и R± от угла падения существенно различен. Коэффициент R± монотонно возрастает по мере увели­чения 8₀, начиная от значения (86,8) при 8₀ = 0. Коэффициент же 7?||, равный тому же значению (86,8) при 6 = 0, по мере увеличения 8₀ сначала убывает, обращается в нуль при 9₀ = 8_/, и лишь затем начинает монотонно возрастать.

При этом надо различать два случая. Если отражение про­исходит, как говорят, от оптически более плотной среды, т. е. е₂ > 8ц то возрастание R_n и ^ продолжается вплоть до 8₀ = л/2 (скользящее падение), когда оба достигают значения 1. Если же отражающая среда оптически менее плотная, г₂ <Сг₁, то оба коэффициента обращаются в 1 уже при угле падения 8₀ = 8_Г, где 6_Г определяется равенством

&т&_г=у^гг₂/г₁ = п₂/п₁ (86,13)

и называется предельным углом полного отражения. При 6₀ = 8,, угол преломления 8₂ = л/2, т. е. преломленная волна распростра­няется параллельно поверхности раздела.

Отражение - под углами 8₀ > 8_Г от оптически менее плотной среды требует особого рассмотрения. В этом случае k_2z (см. (86,2)) часто мнимо, т. е. поле в преломляющей среде затухает. Зату­хание волны в глубь среды при отсутствии в ней истинного поглощения (диссипации энергии) означает, что поток энергии из первой во вторую среду в среднем отсутствует (путем простого вычисления легко непосредственно убедиться в том, что вектор S среднего потока энергии во второй среде действительно имеет лишь х-компоненту). Другими словами, вся падающая на границу раздела энергия отражается обратно в первую среду, т. е. коэффициенты отражения

R_L = R_n = l.

Это явление называется полным отражением¹). В последнем равенстве для /?х и /?_п можно убедиться, разумеется, и непо­средственно с помощью формул Френеля (86,4) и (86,6).

При 0_О > 0_Г коэффициенты пропорциональности между Е_х и Е₀ становятся комплексными величинами вида (а—ib)/(a-\-ib). Вели­чины же /?х и R_H даются квадратами модулей этих коэффи­циентов, равными единице. Эти формулы, однако, позволяют определить не только отношение абсолютных .значений поля в отраженной и падающей волнах, но и разницу в их фазах. Для этого надо представить их в виде

E_lL = e~^ibi-E_oL, E_Ui^e-ⁱ⁶«E_0l

Имеем²)

_t ⁶J- ₌ >^Ле₁&:п² 6₀—s₂ tg ⁶" = ^S'"^{3 e}°~^g^ (86 14)

^ё 2 ^cos9₀ ' ² e₂cose₀ '

Таким образом, полное отражение сопровождается изменением фазы волны, различным, вообще говоря, для компонент поля, параллельной и перпендикулярной к плоскости падения. Поэтому при отражении волны, поляризованной в плоскости, наклонной к плоскости падения, отраженная волна будет эллиптически по­ляризована. Для разности фаз S = Sj_— б,, легко получается выражение

б cose .ye.sn.jg-e^ g

^г у в! sin² G₀

Эта разность обращается в нуль лишь при Э₀ = 6_г и 0₀ = л/2. Задачи

1. Найти закон обращения коэффициента отражения в 1 вблизи угла полного отражения.

Решение. Полагаем G₀=G_r — б, где б —малая величина, и разлагаем в формулах (86,10) sin0_o и cos 0₀ по степеням б. В результате получаем:

R_L=l—4 >^2б(п²-1)-'^/*, R_n =1-4 >^26n²(n²—I)^-'''*,

где n² = e₁/e₂> 1. Производные dR/de обращаются при б—>- 0 в бесконеч­ность как б^- I*.

2. Найти коэффициент отражения при почти скользящем падении света из пустоты на поверхность тела с близким к 1 значением е.

Решение. Формулы (86,10) дают одинаковый коэффициент отражения:

р ~ (фо—Кфо-s —О⁴

«L ~ «ц ~ (₆_ 1)2

*) Коэффициент отражения всегда равен единице при отражении от среды с вещественным, но отрицательным f. В такой среде тоже нет истинного по­глощения, ио волна не может проникнуть в глубь ее.

„ а—ib , б b

²) Если —г-^г—е , то tg -тг=— . ' a-\-ib 2 а

где ф₀ = я/2—0_О.

4. Плоскопараллельный слой вещества 2 находится между вакуумом (среда 1) и произвольной средой 3. Из вакуума на слой падает свет, поля­ризованный в плоскости падения (или перпендикулярно к ней). Выразить коэффициент отражения от слоя R через коэффициенты отражения при паде­нии света на полубесконечную среду 2 или 3.

Решение. Обозначим посредством А₀ и А\ амплитуды поля (Е или Н — смотря по тому, какой из этих векторов параллелен плоскости слоя) в па­дающей и отраженной волнах. Поле в слое складывается из преломленной волны (амплитуда А₂) и волны, отраженной от границы 2 — 3 (амплитуда А₂). Граничное условие на поверхности /—2 дает равенство вида

Л₂ = а(Л₁-г₁₂Л₀), (1)

где а и г₁₂— постоянные. При отражении от полубесконечной среды 2 волна А₂ отсутствует, так что (1) дает r₁₂= AjA_d, т. е. г₁₂ есть амплитуда отра­жения для этого случая. Еще одно уравнение получается из (1) перестановкой Ах с А₀ и заменой А₂ на А₂, что соответствует просто изменению знака г-компоненты волнового вектора:

А₂ = а(А₀—г₁₂А₁). (2)

В среде 3 имеется только одна (прошедшая) волна. Для ее амплитуды А₃ имеем условия

А₂е^ = аД₃, А'₂е~^ = -аг₃₂А₃ (3)

(аналогичные условиям (1), (2) с А₁ = 0); экспоненциальные множители учиты­вают изменение фазы волны на толщине слоя h, причем

ф = h У~г₂ — sin² в₀. (4)

Исключая из уравнений (3) А₃, имеем

А₂е~^ = г₂₃А₂е^ (5)

(^23 = — ^зг)-

Из уравнений (1), (2), (5) найдем амплитуду отражения от слоя:

_г== А_х _r_l2e~²¹^ -fr₂₃ ,g.

Ao _e-^ + r₁₂r₂₃

(коэффициент отражения R = \r\²). Смысл постоянной r₂₃ выясняется из того, что при /i=0 г должно совпадать с амплитудой отражения г₁₃ от полубес­конечной среды 3; отсюда находим

'23 — — 7- (7)

' 12' 13 — ¹

Формулы (6), (7) решают поставленную задачу. Подчеркнем, что их вывод не связан с какими-либо предположениями о свойствах сред 2 и 3, которые могут быть как прозрачными, так и поглощающими.

Если среды 2 и 3 прозрачны, то величины ф, г₁₂, г₁₃ вещественны, а г₂₃ представляет собой амплитуду отражения на границе между полубесконечными средами 2 и 3. Из (6) имеем при этом

_{R =} (ru + r₂₃f — 4r₁₂r₂₃ sin² \h

(^23+I)² — 4ri₂r₂3 sin² гр' ^[ '

При изменении ф эта величина меняется в пределах между

/ Г12 + г₂з '

V 12^23 + 1

/ \ ^12^23 — 1/

_ П-у — п₂

При нормальном падении света r_i2 = —■ , и аналогичные соотношения

^П1+ «2

имеют место для г₁₃ и г₂₃. Если n₂ = «i«3> то fi2 = ^23 и при соответствующем выборе толщины слоя R может обратиться в нуль.

Если среда 3 является вакуумом, то r₁₃ = 0, г₂₃ = —г₁₂ и из (6) имеем

_т /■» (е-"*—1) . shnp

_e-«*__r?_s sh[»f+ln (-/"!,)]• ^{ >

R =

Если при этом среда 2 прозрачна, то

4/?1₃ sin²\p

(1-/?12)²+4^₁₂5,п²гр-

Коэффициент прохождения D через слой (из вакуума в вакуум) совпадает с 1 — R, лишь если среда 2 прозрачна. В противном случае для вычисления D надо исходить из уравнений (1) — (3), положив в них г₃₂—г₁₂. «Амплитуда прохождения» d равна:

"<--^Л* ^l~^rU (10)

Г12Й

а коэффициент прохождения Z? = |d|²,

5. Определить коэффициенты отражения и прохождения при нормальном падении света на пластинку с очень большой комплексной диэлектрической проницаемостью е.

Решение. В этом случае

_Л)'

^'"-i+z-r-l1

и согласно формуле (9) предыдущей задачи

1 — (2l V e)cth«p с

Если пластинка настолько тонка, что /ио/с<^ 1/У"| е |, то можно написать

1

' ^— 1 + (2tc/ecoft)'

При этом можно еще различать два случая:

1 , со . . 1 _п , 4с е"

при-|—_г< — Д< _— : /?=1 г-;—Г5>

I е | ^ с | е | w/i [в |²

при —h : d = — ,

с "К|е| Y в sh (ф