Глава X

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 85. Геометрическая оптика

Условие применимости геометрической оптики заключается, как известно, в малости длины волны к по сравнению с харак­теристическими размерами задачи / (см. II § 53). Связь геомет­рической оптики с волновой устанавливается тем, что при к<^.1 всякая величина ср, описывающая поле волны (любая из компо­нент Е или Н), выражается формулой вида

<р = ае'*,

где амплитуда а — медленно меняющаяся функция координат и времени, а фаза г|?—большая величина, являющаяся «почти ли­нейной» функцией координат и времени. Последняя называется в геометрической оптике эйконалом и играет в ней основную роль. Ее производная по времени определяет частоту волны:

^ = -со, (85,1)

а производные по координатам — волновой вектор:

V^ = k (85,2)

и тем самым — направление лучей в каждой точке пространства.

У монохроматической волны в стационарных условиях частота есть постоянная величина и зависимость эйконала от времени дается слагаемым —(at. Введем тогда вместо ф другую функцию

(которую тоже будем называть эйконалом) согласно

я|з = _ at + у$₁(х, у, г); (85,3)

есть функция только координат, а ее градиент

Wi = n, (85,4)

где п — вектор, связанный с к посредством

к = ^п. (85,5)

Абсолютная величина вектора п равна показателю прелом­ления п среды*). Поэтому уравнение эйконала для распростра-

^х) В геометрической оптике рассматриваются лишь прозрачные среды.

нения лучей в среде с показателем преломления п(х, у, г), яв­ляющимся заданной функцией координат, есть

_{iw-m'+m'+m^n'. (М>6)}

дх J \ ду ) ~ \ дг

Уравнение распространения лучей (в стационарных условиях) может быть получено также из принципа Ферма, согласно кото­рому для траектории луча между двумя заданными точками про­странства А и В минимален интеграл

в в

= \ n dl = ^ п dl.

А А

Приравнивая нулю вариацию этого интеграла, имеем

^{6гр, = 5 (6n-dl + nBdl) = 0.}

Пусть бг—-смещение траектории луча при варьировании. Тогда имеем

6л = 6г-у«, 8dl = \d8r,

где I — единичный вектор касательной к лучу. Подставив в б\|з₁ и произведя во втором члене интегрирование по частям (учиты- вая, что в точках А и В 6г = 0), получим в в в

6v^ = J6r-V«d/ + j«id6r= f (v«—^) 6r-d/ = 0.

A A A

Отсюда

d(n\)

Vn. (85,7)

dl

Раскрыв производную и подставив ~ = \\п, перепишем это уравнение в виде

^{§=4[V«-1(1V«)]- (85,8)}

Это и есть уравнение, определяющее форму лучей.

Как известно из дифференциальной геометрии, производная d\/dl вдоль луча равна N/R, где N — единичный вектор главной нормали, a R — радиус кривизны луча. Умножив уравнение (85,8) с обеих сторон на N и учитывая взаимную перпендикулярность N и !, получим

± = N^1. (85,9)

Луч изгибается в сторону увеличения показателя преломления.

Скорость распространения лучей в геометрической оптике на­правлена вдоль 1 и дается производной

и = |£. (85,10)

Эту скорость называют также групповой, а отношение co/fe—фа­зовой скоростью. Последняя не соответствует скорости реального физического распространения какой бы то ни было величины.

Легко написать также уравнение, определяющее изменение интенсивности света вдоль луча. Интенсивность / представляет собой абсолютную величину усредненного (по времени) вектора Пойнтинга. Последний направлен вместе с групповож скоростью вдоль 1:

S = /l.

В стационарных условиях средняя плотность энеогии поля в каждой точке пространства не меняется со временем. Поэтому

уравнение сохранения энергии гласит: divS = 0, и.™

div(/l) = 0. (85,11)

Это и есть искомое уравнение.

Наконец, рассмотрим вопрос о том, как меняетоя вдоль лу­ча направление поляризации линейно поляризованного света (СМ. Рытое, 1938).

Как известно из дифференциальной геометрии, пространствен­ная кривая (в данном случае луч) характеризуете я в каждой своей точке тремя взаимно перпендикулярными единичными век­торами касательной 1, главной нормали N и бинормали b (так называемый естественный трехгранник). В силу топеречности электромагнитных волн вектор Е (или Н) лежит всегда в нор­мальной плоскости—плоскости N, Ь.

Пусть в некоторой точке луча направление Е совпадает с направлением N, т.е. лежит в соприкасающейся плоскости (плоскость N, 1). Как известно, отклонение кривой на длине dl от соприкасающейся плоскости является бесконечно малой вели­чиной высшего (третьего) порядка. Поэтому можно; утверждать, что при перемещении вдоль луча на расстояние dl вектор Е остается в первоначальной соприкасающейся плоскости. Новая же соприкасающаяся плоскость поворачивается относительно ста­рой на угол d<p = dl/T, где Т — радиус кручения кривой. Этому же будет равен, следовательно, угол поворота вектора Е по от­ношению к вектору N в нормальной плоскости. Таким образом, при перемещении вдоль луча направление поляризации вращается в нормальной плоскости так, что его угол с направлением глав­ной нормали меняется согласно уравнению

% = Т- (⁸⁵'¹²>

В частности, в отсутствие кручения, т. е. когда луч является плоской кривой, направление вектора Е в нормальной плоскости остается неизменным, как это и заранее очевидно из соображе­ний симметрии.

Задачи

1. Найти закон преобразования скорости распространения света в среде (групповой скорости) при преобразовании системы отсчета. Решение. По определению групповой скорости и,

Ао- и i;ik, Ао' - и'dk';

величины со штрихом относятся к системе отсчета Л", движущейся со ско­ростью v относительно системы К (величины без штриха). Согласно формулам преобразования Лоренца для волнового 4-вектора имеем

к'х V (Ьх—ы ''■). к',, к,_г к'_г к,, си у(ы'■[■-,Ф_Х),

где у 1 V 1—-i'* с* (оси х, х' — к направлении v). Из формулы во второй строке имеем

Ad у (iko' -'■ v ilkx) у (u' ₍/к'с dk'_x).

Подставив сюда dk', выраженное через dk и dm, in формул первой строки и собрав вместе члены е А», получим

V. 1 г"Т iv_A ) t/u> у (их i) М\ ; щМкц - u_zdk_:.

Сравнив с Ао -udk, найдем, что скорости и' п v складываются в и по обыч­ным релятивистским формулам сложения скоростей - - как это и следовало ожидать.

2. Определить скорость распространения света в движущейся (относительно наблюдателя) среде.

Решение. Пусть ш п к — частота и волновой вектор световой волны в непотвпжпой системе отсчета К, а о/, к' — те же величины в системе К', дви­жущейся относительно К вместе с жидкостью со скоростью v. В системе К! жидкость неподвижна, и потому ы' н к' связаны соотношением

с к' со'я(ы'). (1)

Согласно формулам преобразования Лоренца для волнового 4-вектора, имеем, с точностью до членов первого порядка по v с:

со' = со— kv, к' к — — v, к!-~ к—^-vl

с- с-

(I — k/fe). Подставив эти выражения в (1) и разложив функцию п (со') по сте­пеням V, получим с той же точностью¹):

с с^г

d(na>) Ао

vl. (2)

¹) Отметим, что второй член в (2), а с ним и все дальнейшие эффекты первого порядка тождественно обращаются в нуль при я-=е = 1—const-co^-2.

Скорость распространения (групповая скорость) в неподвижной среде по­лучается дифференцированием соотношения ck = a>n(a>) и равна

I. (3)

d (nco),dco

В движущейся среде она получается дифференцированием соотношения (2), которое предварительно переписываем в виде

k=- — п + kv

с \сп и„

Снова с точностью до членов первого порядка находим

, ., , / "о "о «со du„ \ ( и₀ \

При распространении света в направлении движения среды (v||I) имеем

отсюда¹)

( ul \ t'rtco du₀ ,ь

Первые два члена могут быть получены просто путем применения релятивист­ской формулы сложения скоростей. Если же v и I взаимно перпендикулярны:

u-^v(l-£). (6)

Фазовая скорость волны получается из (2) в виде

со с , | Л 1 , со dn

k п ' V n^{s т} n do

При v J_ I эффект первого порядка в ней отсутствует.