§ 84. Прозрачные среды

Применим полученные в § 82 общие формулы к слабопогло-щающим (в данной области частот) средам, т. е. будем предпо­лагать, что для этих частот мнимой частью диэлектрической проницаемости можно пренебречь.

В таком случае в формуле (82,8) взятие главного значения становится излишним, так как точка л: = со фактически выпадает из области интегрирования. После этого интеграл можно диффе­ренцировать по параметру со, как обычный интеграл, не имеющий особенностей в подынтегральном выражении. Произведя такое дифференцирование, получим

_dB__ jko f* хе" (х) dx

dw ~ п J (со² —л:²)² * О

Ввиду положительности подынтегрального выражения во всей области интегрирования мы приходим к выводу, что

^>0, (84,1)

т. е. в области отсутствия поглощения диэлектрическая прони­цаемость— монотонно возрастающая функция частоты.

Аналогичным образом, в той же области частот получается еще и другое неравенство:

[co²(₆-l)] = i^%^d*>0,

JLf"²'~ im_ ⁴⁽⁰ Г ^хЧ" (*)_ о

или

£>«-ibfl. (84.2)

Если е < 1 или даже отрицательна, то это неравенство сильнее неравенства (84,1)').

Отметим, что неравенства (84,1) и (84,2) (и аналогичные — для р (со)) автоматически гарантируют выполнение неравенства «<с для скорости распространения волн. Так, при р=1 имеем п = ]/~г и, вводя п вместо е в (84,1) и (84,2), получим

*Ш_>п, ^d-f^ >1. (84,3)

da ^ ' da ^ п \ ' i

Поэтому для скорости и (83,10) получаются два неравенства: и < с/п и и < сп, откуда видно, что и<с как при tt> 1, так и при я< 1. Эти неравенства показывают также, что и > 0, т. е. групповая скорость направлена в ту же сторону, что и волновой вектор. Это ее свойство вполне естественно, хотя с чисто логи­ческой точки зрения отнюдь не обязательно.

Предположим, что область слабого поглощения простирается в некотором широком интервале частот от со, до со₂ (причем coa^coj), и рассмотрим частоты со такие, что coj^co^co^ Область интегрирования в (82,8) разбивается на две части: х < coj и х > со₂. В первой из них можно пренебречь в знаменателе подын­тегрального выражения х по сравнению с со, а во второй—со по сравнению с х:

со со,

8(co)=l+|J _e»_W^-JLj хг"(х)йх, (84,4)

со₂ 0 .

^х) Взяв полусумму неравенств (84,1) и (84,2), найдем, что d (сое)/da > 1 — неравенство более сильное, чем (80,13).

т. е. функция е(со) в рассматриваемой области имеет вид а—6/со², где а и b—положительные постоянные. Вторую из них можно выразить через силу осцилляторов Л^, ответственных за погло­щение в области от 0 до coj (ср. (82,12)), и тогда

Из этого выражения следует, что в достаточно широкой облас­ти слабого поглощения диэлектрическая проницаемость, вообще говоря, проходит через нуль. Напомним в этой связи, что про­зрачной в буквальном смысле слова является среда, в которой е(со) не только вещественно, но и положительно; при отрица­тельном 8 волна затухает в глубь среды, хотя в ней и не про­исходит истинной диссипации энергии.

Для частоты, при которой е = 0, индукция D тождественно обращается в нуль и уравнения Максвелла допускают существо­вание переменного электрического поля, удовлетворяющего одному лишь уравнению rotE = 0 при равном нулю магнитном поле. Другими словами, в этом случае возможно существование про­дольных электрических волн. Для определения скорости их рас­пространения необходимо учитывать дисперсию диэлектрической проницаемости не только по частоте, но и по волновому вектору; мы вернемся к этому вопросу в § 105.

Пусть, наконец, в широкой области прозрачности имеется узкая область («линия») поглощения вокруг некоторой частоты со₀. Рассмотрим окрестность этой частоты, удовлетворяющую условию

у<^|со—о)₀|<^со₀, (84,6)

где у— ширина линии. В этой области в подынтегральном выра­жении в (82,6) можно заменить х на со₀ везде, кроме быстроме­няющейся функции г"(х). Тогда получим:

^{8 (со),« 8' (со) * j^J-^ J 8» dx, (84,7)}

где интегрирование производится по линии поглощения.

Задача

На границу полупространства (х > 0), заполненного прозрачной средой (с |х=1), падает в нормальном направлении плоская электромагнитная волна с резко обрывающимся передним фронтом. Определить структуру фронта волны, прошедшей внутрь среды (A. Sommerfeld, L. Brillouin, 1914).

Решение. Пусть волна падает на границу среды в момент ^ = 0, так что при х=0 поле падающей волны (Е или Н)

при / < 0: £=0; при / > 0: Е^ е~^1а«К

Разлагая это поле в интеграл Фурье по времени, сведем задачу к падению бесконечно протяженных волн различной частоты на ту же границу. Амплитуда компоненты Фурье с частотой со пропорциональна

со 0

При падении волны с частотой со прошедшая в среду волна имеет вид

со

/ . j , • со а (со) exp I — mi +1 — nx

где амплитуда а (со) — медленно меняющаяся функция частоты. Поэтому в дан­ном случае поле волны в среде

+ 00 00

Е «. ^ dco а (со) ехр ^— Ш+l nx) ^ е^{{ (0>_0>}"^{) т} dr.

-оо О

В области вблизи фронта волны в этом интервале играют роль значения со, близкие к со₀. Введя новую переменную £ = со—<»„, заменим а (со) на а(ш₀), a показатель разлагаем по степеням |. Опуская все несущественные постоянные н фазовые множители, получим

Е «.

_И

ехр

, , х \ it² и' } ,„ , ■ Н— —?rx—r->dl dt,

где и=и(со₀) — скорость распространения (53,10), а

du_ day

Произведя

,±'ч²

интегрирование по d\, легко привести Е к следующему виду:

00

x—ut

V2

х и

(знак в показателе зависит от знака и'). Интенсивность же волны вблизи ее фронта распределена по закону

Эта формула по виду совпадает с формулой, определяющей распределение интенсивности вблизи края тени при дифракции Френеля (см. II § 60). При w > 0 интенсивность монотонно падает с увеличением w, а при w < 0 совер­шает осцилляции с убывающей амплитудой вокруг постоянного значения, к которому стремится при w—>-—оо.

На больших расстояниях впереди рассмотренного фронта ему предшествуют так называемые «предвестники», распространяющиеся со скоростью с. Они соответствуют компонентам Фурье с большими частотами, для которых е—>•!.