§ 83. Плоская монохроматическая волна

Уравнения Максвелла (77,2) для монохроматического поля гласят:

г'сор (со) Н = с rot Е, icoe(co)E = —crotH. (83,1)

Эти уравнения сами по себе составляют полную систему, так как уравнения (77,1) следуют из них автоматически, и потому не должны рассматриваться отдельно. Предполагая среду однородной и исключив из этих уравнений Н (или Е), получим уравнение второго порядка

^{AE + sp-J-E = 0 (83,2)}

(и такое же уравнение для Н).

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распростра­няющуюся в неограниченной однородной среде. В плоской волне в пустоте зависимость поля от координат дается множителем вида e^ikr с вещественным волновым вектором к. При рассмотре­нии же распространения волн в материальных средах в общем случае оказывается необходимым вводить также и комплексные значения:

k = k'+ik",

где к', к"—вещественные векторы.

Положив Е и Н пропорциональными e^ikr и произведя в урав­нениях (83,1) дифференцирование по координатам, получим

сорН = с[кЕ], соеЕ = — с[кН]. (83,3)

Исключив из этих двух соотношений Е или Н, найдем следую­щее выражение для квадрата волнового вектора:

k²^6'² — 6"² + 2ik'k" = ep^-. (83,4)

Мы видим, что к может быть вещественным, только если 8 и р вещественны и положительны. Но даже и в этом случае к может все же быть комплексным, причем только должно быть k'k" = 0 (с таким случаем мы встретимся при рассмотрении полного отра­жения, см. § 86).

Следует иметь в виду, что в общем случае комплексных к волна может быть названа «плоской» лишь в условном смысле. Написав мы видим, что плоскости, перпендикулярные к вектору к', явля­ются плоскостями постоянной фазы. Плоскостями же постоянной амплитуды являются плоскости, перпендикулярные к вектору к", в направлении которого происходит затухание волны. Что же касается поверхностей постоянного значения самого поля, то они в общем случае вообще не будут плоскими. Такие волны назы­вают неоднородными плоскими волнами, в отличие от обычных однородных плоских волн.

Связь между компонентами электрического и магнитного полей в общем случае дается формулами (83,3). В частности, умножив эти формулы скалярно на к, получим

кЕ = 0, кН=0, (83,5)

а возводя какую-либо из них в квадрат и используя (83,4), найдем

_E2 ₌ Ji_H2_ (₈₃₎₆)

Следует, однако, помнить, что ввиду комплексности всех трех векторов k, Е, Н эти соотношения в общем случае не имеют того наглядного смысла, который они имели бы для веществен­ных величин.

Не останавливаясь на громоздких соотношениях, получающихся в общем случае, рассмотрим наиболее важные частные случаи.

Особенно простые результаты получаются для волны, распро­страняющейся без затухания в непоглощающей (прозрачной) однородной среде. Волновой вектор в этом случае веществен и по величине равен

к = Ущ~ = п^, (83,7)

где я = |/ер называется показателем преломления среды. Как электрическое, так и магнитное поля лежат в плоскости, пер­пендикулярной к вектору к (чисто поперечная волна), причем перпендикулярны друг к другу и связаны соотношением

Н=]/у[1Е] (83,8)

(1—единичный вектор в направлении к). Отсюда следует, что

еЕЕ* = рНН*;

это, однако, не означает равенства электрической и магнитной энергий в волне (как в отсутствие дисперсии), поскольку послед­ние даются другими выражениями (два члена в формуле (80,11)). Суммарную плотность электромагнитной энергии в этом случае можно привести к виду

Скорость и распространения волны в среде определяется из­вестным выражением групповой скорости

^{dw с} (83,10)

dk d (ncu)/rfco

При этом u = SIU, в соответствии с ее смыслом как скорости переноса энергии в волновом пакете; здесь U — плотность энергии, даваемая формулой (83,9), а

8л V

^•ЕЕ* (83,11)

— среднее значение вектора Пойнтинга. В отсутствие дисперсии, когда показатель преломления не зависит от частоты, выражение (83,10) сводится просто к с/п (ср. (75,13)).

Далее, рассмотрим более общий случай распространения электромагнитной волны в поглощающей среде, причем волновой вектор имеет определенное направление, т. е. к' и к" параллельны друг другу. Такая волна является плоской в буквальном смысле, так как поверхностями постоянных значений поля в ней явля­ются плоскости, перпендикулярные к направлению распростра­нения (однородная плоская волна).

В этом случае можно ввести комплексную «длину» k волно­вого вектора согласно к = 61 (где 1—единичный вектор в направ­лении к' и к") и из (83,4) имеем k = Ущ м/с Комплексную величину Ksp обычно пишут в виде п-{-Ы с вещественными п и и, так что

1г = Ущ^ = (п + Ы)~. (83,12)

Величину п называют показателем преломления, а х—коэффи­циентом поглощения среды; последний определяет скорость зату­хания волны по мере ее распространения. Подчеркнем, однако, что затухание волны не обязательно связано с наличием истинного поглощения; диссипация энергии имеет место лишь при комплекс­ных е или р, а коэффициент х может быть отличным от нуля и при вещественных (отрицательных) 8 и р.

Выразим величины п и х через вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной, предполагая при этом, что р=1. Из равенства п²—x²-f-2 mx = e=e'-fie" имеем

*) При наличии существенного поглощения введение понятия групповой скорости вообще невозможно, так как в поглощающей среде волновые пакеты не распространяются, а подвергаются быстрому размазыванию.

п²—х² = е', 2их = е".

Решая эти уравнения относительно п и х, получим^г)

/е'+V е'² + б"² -./ — е' + /е'² + е"² _{е 2} ' ^Х== [/ • (⁸³>¹³)

В частности, для металлов в области частот, где справедлива формула (77,9), мнимая часть г велика по сравнению с вещест- венной частью и связана с проводимостью посредством е" = 4ла/со; пренебрегая е' по сравнению с е", найдем, что п и х совпадают и равны (в согласии с (59,4))

_{п = х=}-|/^. _(83Л4)

Для связи между полями Е и Н в рассматриваемой однород­ной плоской волне снова получаем формулу (83,8), но только с комплексными г и р. Она снова показывает, что оба поля перпендикулярны к направлению распространения волны и друг к другу. Если р=1, то, написав У г в виде

У г — Уп² + к² exp [i arctg (х/я)], мы видим, что магнитное поле по абсолютной величине превы­шает электрическое в Уп²-\-х² раз, а по фазе отстает от него на угол arctg (х/я); в случае (83,14) сдвиг фаз равен я/4.

Задача

В заданный момент времени (/=0) в некоторой области пространства имеется электромагнитное возмущение. Не поддерживаемое внешними источ­никами, оно будет затухать со временем. Найти условия, определяющие декремент этого затухания.

Решение. Разложим начальное возмущение в интеграл Фурье по коор­динатам и рассмотрим какую-либо компоненту с волновым вектором к (веще­ственный вектор!). Ее дальнейшая зависимость от времени дается (при доста­точно большом /) множителем e~^iat с комплексной частотой со, которую надо определить; декремент затухания есть —Imco.

Из уравнений

-с-¹ Н = rot Е= i [kE], с-¹ Ъ = rot Н = i [kH]

имеем, исключив Н,

c-²D = [k[kE]]. (1)

Выберем направление к в качестве оси х. Для продольной части возмущения имеем отсюда D_x = 0, а потому и D_x — 0.

С другой стороны, связь между D_x и Е_х дается интегральным оператором

t

^E_x^{(t) = £-W}_x^{= J F(t-z)D}_x^{(z)dT (2)}

¹) Поскольку е" > 0, то знаки п и х. должны быть одинаковыми, в соот­ветствии с тем, что волна затухает в направлении своего распространения. Выбор в (83,13) положительных знаков соответствует волне, распространяю­щейся в положительном направлении оси х.

^{— со}

Поскольку в данном случае D_x(t) = 0 при / > 0 (чем выражается отсутствие источников поля при t > 0), то

о

^{£*(')= J F (t-x)D}_x^{(x)dx. (3)}

— со

Отсюда видно, что при больших t зависимость Е_х от времени определяется в основном временной зависимостью функции F (t). Для монохроматического поля имеем из (3):

со

и, обратно,

_F (А = Т _1__е-Ш^.

^{Г (l>} J _е (со) 2л '

— со

Для оценки этого интеграла при больших значениях t смещаем путь интегри­рования в нижнюю полуплоскость со, где подынтегральное выражение быстро убывает. При этом надо обходить все особые точки функции 1/е(со), т. е. нули функции е (со) и ее точки ветвления. В результате интеграл будет в основном пропооционален е~^ш"¹, где со_а— ближайшая к вещественной оси из указанных особых точек. Этим и решается поставленный вопрос для продольной части возмущения.

Для поперечных компонент имеем из (1)

Аналогичное исследование приводит к заключению, что искомая частота со₀ является в данн-м случае ближайшим к вещественной оси нулем или точкой ветвления функции

со²е (со)— сЧК