§ 7. Диэлектрическая проницаемость

Для того чтобы уравнения (6,1) и (6,6) составляли полную систему уравнений, определяющих электростатическое поле, к ним надо еще присоединить соотношение, связывающее индукцию D и напряженность поля Е. В огромном большинстве случаев эту зависимость можно считать линейной. Она соответствует первым членам разложения D по степеням Е и связана с малостью внеш­них электрических полей по сравнению с внутренними молеку­лярными полями.

Линейная зависимость D от Е приобретает особенно простой вид в важнейшем случае изотропных диэлектриков. Очевидно, что в изотропном диэлектрике векторы D и Е должны иметь одинаковое направление. Поэтому их линейная зависимость сво­дится к простой пропорциональности ²):

D = eE. (7,1)

^г) Т. е. по составу соприкасающихся тел, температуре и т. п. Если ди­электрик является кристаллом, то поверхность должна быть кристаллической плоскостью.

²) Такая зависимость, предполагающая обращение D в нуль одновре­менно с Е, справедлива, строго говоря, лишь в однородных по своим физи­ческим свойствам (составу, температуре и т. п.) диэлектриках. В неоднородных телах D может иметь отличные от нуля значения и при Е=0, определяясь при этом градиентами меняющихся вдоль тела термодинамических величин. Эти члены, однако, весьма малы и мы будем пользоваться в дальнейшем соот­ношением (7,1) и в неоднородных телах.

Коэффициент е называется диэлектрической проницаемостью вещества и является функцией его термодинамического состояния.

Вместе с индукцией пропорциональна полю также и поляри­зация;

Р = хЕ==^Е. (7,2)

Величина к называется коэффициентом поляризуемости вещества (или его диэлектрической восприимчивостью). Ниже (§ 14) будет показано, что диэлектрическая проницаемость всегда больше единицы; поляризуемость, соответственно, всегда положительна. Поляризуемость разреженной среды (газ) можно считать пропор­циональной ее плотности.

Граничные условия (6,9) и (6,10) на поверхности раздела двух изотропных диэлектриков принимают вид

E<i = E_<2, Ejf^j = е₂£_п2. (7,3)

Таким образом, нормальная составляющая напряженности поля испытывает скачок, меняясь обратно пропорционально диэлектри­ческим проницаемостям соответствующих сред.

В однородном диэлектрике е = const, и тогда из уравнения div D = 0 следует, что и divP = 0. Ввиду определения (6,3) это значит, что объемная плотность зарядов в таком теле отсут­ствует (поверхностная же плотность (6,4), вообще говоря, от­лична от нуля). Напротив, если диэлектрик не однороден, то имеем отличную от нуля объемную плотность

,. _п i-e — 1 _n D .е — 1 Е _

_p==-divP = -div_1HrD = -^-grad—^-^Ve.

Если ввести потенциал электрического поля согласно Е = = —grad ф, то уравнение (6,1) удовлетворяется автоматически, а уравнение divD = diveE = 0 дает

div(ev<p) = 0. (7,4)

Это уравнение переходит в обычное уравнение Лапласа лишь в однородной диэлектрической среде. Граничные условия (7,3) можно переписать в виде следующих условий для потенциала:

дю, dm, _.

4>1 = ф». »i-jj = e,^ (7,5)

(условие непрерывности тангенциальных производных потенциала эквивалентно условию непрерывности самого ф).

В кусочно-однородной диэлектрической среде уравнение (7,4) сводится в каждом однородном участке к уравнению Лапласа Дф = 0, так что диэлектрические проницаемости входят в реше­ние задачи только через посредство условий (7,5). Но эти усло­вия содержат лишь отношение диэлектрических проницаемостей двух соприкасающихся сред. Поэтому, в частности, решение электростатической задачи для диэлектрического тела с прони­цаемостью е₂, окруженного средой с проницаемостью сводится к такой же задаче для тела с проницаемостью е_г/е_1у находяще­гося в пустоте.

Рассмотрим вопрос о том, как меняются полученные в преды­дущих параграфах результаты для электростатического поля проводников, если последние находятся не в пустоте, а погру­жены в однородную и изотропную диэлектрическую среду. В обоих случаях распределение потенциала описывается уравнением Дф = 0 с граничным условием постоянства ср на поверхности проводника, и все отличие заключается в том, что вместо связи Е_п = — ду/дп = 4ла с поверхностной плотностью зарядов теперь будет:

(7,6)

Отсюда видно, что решение задачи о поле заряженного про­водника в пустоте переходит в решение той же задачи в диэлект­рической среде путем формальной замены потенциалов и зарядов: либо ср —»еср, е—>-е, либо ср —» ср, е —»е/е. При заданных зарядах проводников потенциал и напряженность поля убывают в е раз по сравнению с их значениями для поля в пустоте; это ослабле­ние поля может быть наглядно истолковано как результат частичной экранировки заряда проводника поверхностными заря­дами прилегающего к нему поляризованного диэлектрика. Если же поддерживаются постоянными потенциалы проводников, то поле остается неизменным, но увеличиваются в е раз заряды проводников^J).

Наконец, отметим, что в электростатике можно формально рассматривать проводник (незаряженный) как тело с бесконечной диэлектрической проницаемостью—-в том смысле, что влияние, оказываемое им на внешнее электрическое поле, такое же, какое оказывал бы диэлектрик (той же формы) с е —» оо. Действительно, в силу конечности граничного условия для индукции D она должна оставаться конечной внутри тела и при е—*-оо; но это означает, что в таком поле будет Е = 0, в соответствии со свой­ствами проводника.

Задачи

1. Определить поле, создаваемое точечным зарядом е, расположенным на расстоянии h от плоской границы раздела двух различных диэлектрических сред.

*) Отсюда следует, в частности, что при заполнении конденсатора диэлект­риком, его емкость увеличивается в е раз.

Решение. Назовем точку, в которой находится заряд е в среде /, точкой О, а ее зеркальное отображение по другую сторону плоскости раздела (в среде 2) — точкой О' (рис. 11). Будем искать поле в среде / как поле, созда­

ваемое двумя точечными зарядами,— зарядом е и фиктивным зарядом е' в точке 0' (ср. метод изображений, § 3):

_ф1 =

где г, г—расстояния точки наблюдения соответственно от О и О'. Поле же в среде 2 ищем в виде поля, создаваемого фиктивным зарядом е", находящимся в точке О:

е"

На граничной плоскости (г = г') должны выполняться условия (7,5), из ко­торых получаем уравнения

е — е=е'

е-\-е'

отсюда

е = е

2е,

EJ + 82

О)

При

оо имеем е

ф₂ = 0, т. е. мы возвращаемся к результату,

п олученному в § 3 для поля точечного заряда вблизи проводящей плоскости.

F =

Сила, действующая на заряд е (сила изобра­жения), равна

(2/0² е_х

ei — е₂

е₁(е₁ + е₂) '

F > 0 соответствует отталкиванию.

2. То же для бесконечной прямой заряжен­ной нити, расположенной параллельно плоскости раздела на расстоянии h от нее.

2е'

1п г',

1пг-

Ф1 =

Решение вполне аналогично решению пре­дыдущей задачи, с той разницей, что потенциалы поля в обеих средах:

2е

2с"

■■ In г,

е₂

где е, е', е"—заряды на единице длины нити и ее «изображений», а г, г' — расстояния в плоскости, перпендикулярной к нитям. Для е, е', е" получаются те же выражения (1), а сила, действующая на единицу длины нити,

f^- ^2ее' — ^е" (^е1 —^ег) 2Ы\ кг₁ (е_г + ег)

3. Определить поле, создаваемое бесконечной прямой заряженной нитью, расположенной (в среде с диэлектрической проницаемостью е_х) параллельно цилиндру (с е = е₂) радиуса а на расстоянии Ь (Ь > а) от его оси¹).

¹) Аналогичная задача о точечном заряде вблизи диэлектрической сферы не решается в конечном виде.

Решение. Поле в среде / будем искать как поле, которое создавалось бы в однородном диэлектрике е_х реальной заряженной нитью (проходящей через точку О, рис. 12) с зарядом е на единице длины и двумя фиктивными нитями с зарядами е' и —е', проходящими соответственно через точки А и О'. Точка А расположена на расстоянии ЛО' = а²/Ь от центра окружности; тогда для всех точек окружности расстояния гиг' соответственно до точек О и Л находятся в постоянном отношении г'1г = а/Ь, в результате чего окажется возможным удовлетворить граничным условиям на этой окружности. Поле же в среде 2 будем искать как поле, которое создавали бы в однородной среде е₂ фиктивные заряды е" на нити, проходящей через О.

Граничные условия на поверхности раздела удобно сформулировать с по­мощью потенциала ф (Е = —grad ф) и векторного потенциала А (ср. § 3), определенного H3D=rotA (в согласии с уравнением ciivD = 0); в плоской задаче вектор А направлен вдоль оси г (перпендикулярно к плоскости ри­сунка). Условия непрерывности касательных компонент Е и нормальной ком­поненты D эквивалентны условиям

Ф₁ = ф₂, А_Х = А_%.

Для поля заряженной нити имеем в полярных координатах г, 0:

Ф = — (2е/е) In г + const, ,4=2e9 + const

(ср. (3,18)). Поэтому граничные условия гласят:

2 2е" — (— e\nr — e' In г' -\-е' 1п о) = In r + ^c0nsi>

⁸1 ^е2

2 [е9 + e'Q' — е' (9 + 9')] = 2e"G

(обозначение углов дано на рис. 12; использовано подобие треугольников ОО'В и ВО'А. Отсюда е₂ (е-\-е') =е₁е", е—е'—е", и для е', е" снова получаются выражения (1) из задачи 1.

Сила, действующая на единицу длины заряженной нити, параллельна ОО' и равна

F = eE = ^2ee' ( ^{1 1} ^— ^2e2(^ei —^ег)а²

ei \ОА ОО'J е₁(е₁ + е₂) Ь (&² — о²)

(F > 0 соответствует отталкиванию). В пределе о, Ь—»-оо, Ь — а—>-h это •ыражение переходит в результат задачи 1.

4. То же, если нить проходит внутри цилиндра с диэлектрической про­ницаемостью е₂ (Ь < а).

Решение. Поле в среде 2 ищем как поле реальной нити е (точка О на рис. 13) и фиктивной нити е', проходящей через точку А, расположенную теперь вне цилиндра. Поле же в среде / ищем как поле нитей с зарядами е" и е — е", проходящих соответственно через О и О'. Тем же способом, как и в предыдущей задаче, получим

ei + e₂ ej-fea

Нить отталкивается (при е₂ > е_х) от цилиндра с силой „ 2ее' 1 2е²(е₂-е₁)&

5. Показать, что потенциал поля фд (гд), создаваемый в точке Гд произ­вольной неоднородной диэлектрической среды точечным зарядом е, находя­щимся в точке гд, равен потенциалу фд(гд), создаваемому в точке гд тем же зарядом, находящимся в точке гд.

Решение. Потенциалы фд (г) и фд (г) удовлетворяют уравнениям

div (е\"Фл) =—4яе б (г — гд), div (еуфд) = —4ле 8 (г —г_д).

Умножив первое из них на фд, а второе на фд и вычтя почленно одно из другого, найдем

div (фдЕУФл) — div (ф_Леуфд) = —4яе 8 (г — Гд) фд (г) + 4ле 8 (г —г_д) <р_л (г).

Интегрирование этого равенства по всему пространству дает искомое соотно­шение: фд (Гд) = фд (Гд).