§ 72. Ударные волны

Перейдем к следующему типу разрывов, в котором

/=И=0, {У\Ф0. (72,1)

Эти разрывы, как и в обычной гидродинамике, называют удар­ными волнами. Они характеризуются наличием скачка плотности и тем, что газ движется сквозь них (v_nl и v_n2 отличны от нуля). Что касается нормальной компоненты магнитного поля, то она, вообще говоря, отлична от нуля, но в частном случае может быть и Н_п=0.

Сравнив уравнения (70,4) и (70,5), мы видим, что (при Н_пф0) векторы Н_/2— H_fl и V₂H_i2— V₁H_n параллельны одному и тому же вектору v_t2 — v_n и потому параллельны между собой. Отсюда в свою очередь следует коллинеарность Н_п и Н_/2, т. е. векторы Hj, Н₂ и нормаль к поверхности разрыва лежат в одной плоско­сти— в противоположность тангенциальным и альфвеновским раз­рывам, в которых плоскости Н^п и Н₂,п, вообще говоря, не совпадают. Этот результат справедлив и в случае Н_п = 0, когда из (70,5) следует, что V₁H_n=V₂H_t2 (этот случай будет более подробно рассмотрен в конце параграфа).

Скачок \_п — v₍₁ расположен в той же плоскости, что и H_l5 Н₂. Не ограничивая общности, можно считать, что и сами век­торы v_t и v₂ лежат в той же плоскости, так что движение в ударной волне является по своей природе плоским. Более того, легко видеть, что путем соответствующего преобразования си­стемы координат можно (при Н_пФ0) добиться того, чтобы с обеих сторон поверхности разрыва векторы v и Н были коллинеарны. Для этого надо перейти к новой системе координат, движущейся относительно первоначальной со скоростью

^vt—jr ^Ht = ^vt—jr ^Ht

(значения этой величины с обеих сторон разрыва одинаковы в силу граничного условия (70,5)). В следующих ниже формулах мы, однако, не будем предполагать этого специального выбора системы координат.

Выведем соотношение, играющее для ударных волн в магнит­ной гидродинамике роль адиабаты Гюгонио обычной гидродина­мики. Исключив {v_t\ из двух уравнений (70,4—5), получим соот­ношение

мы пишем здесь H_t вместо H_f, имея уже в виду коллинеарность

Н_п и Н^¹). Для того чтобы исключить v_t из уравнения (70,2), переписываем его тождественно в следующем виде:

М + ^/уЧ^П + |{(^-^н_/)}+^{1/я_?}-₃^я„{яп = о.

Третий член обращается в нуль в силу уравнения (70,4) и, таким образом, v_t выпадает. В последнем члене подставляем /² из (72,2), а в первом — из (70,3), т. е.

_ Р_а-Р_{1 +} (Я₍^а₂-Я^)/8д

После простых вычислений получим тогда окончательно (8₂-e₁) + y(^ + ^)(V₂~V₁) + l^(V₂~V₁)(//_<2-^₁)²=0. (72,4)

Это и есть искомое уравнение ударной адиабаты в магнитной гидродинамике. Оно отличается от обычного уравнения третьим членом.

Выпишем здесь еще раз также уравнение (70,4):

v^-v_n=^(H_/2-H_n), <⁷²-⁵)

определяющее скачок \_t по скачку Н₍. Уравнения (72,2—5) со­ставляют полную систему уравнений, описывающих ударные волны. Ниже мы условимся приписывать индекс 1 той среде, в сторону которой волна распространяется; другими словами, сам газ про­ходит со стороны 1 перед ударной волной на сторону 2 позади нее. Напомним также, что мы условились пользоваться системой координат, в которой данный элемент поверхности разрыва по­коится, а газ движется через него.

В обычной гидродинамике справедлива теорема Цемплена (см. VI § 84), согласно которой в ударной волне давление и плотность увеличиваются:

P*>Pi, P*>Pi; (72,6)

другими словами, ударная волна—волна сжатия. При этом пред­полагается, что

¹) При этом, однако, векторы Н₍₁ и Н/₂ могли бы быть направлены как в одну и ту же, так и в противоположные стороны, и в этом смысле H_tl и H_t2 могли бы иметь как одинаковые, так и различные знаки. Лишь в даль­нейшем (§ 73) мы увидим из других соображений, что фактически эти знаки должны быть одинаковыми.

хотя это неравенство—не термодинамическое, оно выполняется практически всегда. Теорема Цемплена является следствием закона возрастания энтропии.

Легко видеть, что теорема Цемплена остается справедливой и в магнитной гидродинамике для ударных волн слабой интен­сивности— при одном только условии (72,7). В слабой ударной волне скачки всех величин малы. Разложив уравнение (72,4) по степеням скачков давления и энтропии, получим

(72,8)

первый член отвечает обычной гидродинамике (см. VI § 83). Поскольку — (dV/dP)_s>0 согласно одному из термодинамиче­ских неравенств, то согласно требованию s₂— s_t > О из (72,8) следует неравенство Р₂ > Р₁ и, соответственно, V₂ < Vi-

Если помимо (72,7) положителен также и коэффициент теп­лового расширения, (dV/dT)_P > 0, то теорему Цемплена в магнит­ной гидродинамике можно доказать сведением к доказательству в обычной гидродинамике, без предположения о малости скачков всех величин (Р. В. Половин, Г. Я- Любарский, 1958; С. В. Иор­данский, 1958).

Пусть P_lt V_x — заданное начальное состояние газа, и пусть s₂⁰⁾— энтропия в конечном состоянии газа при заданном значе­нии V₂ в отсутствие магнитного поля. Энтропию же в конечном состоянии газа при тех же значениях Р_х, V_t, V₃ в присутствии магнитного поля обозначим как s₂^H). В обычной гидродинамике из V₂ > V_x следует s⁽₂⁰¹ < s_lt что означает невозможность волны разрежения. Покажем, что (в указанных выше условиях) s^l₂^H| < s₂°\ так что тем более s⁽₂^H| < sf, тем самым будет доказана невозмож­ность волн разрежения и в магнитной гидродинамике.

Дифференцируем уравнение (72,4) по Р₂ при постоянном У₂. Используя равенство (дг/дР)_у = Т (ds/dP)_v, получим

^(С),₂ + т(^-^)+(|^), = 0, (72,9)

где обозначено

Ввиду термодинамических соотношений

(дР_\ _Т_(дР\ (дР\ fdV\

\ds )v~c_v{dTJ_v' [dTjv \dVJT\dT]p

знак первого члена в (72,9) совпадает со знаком (dV/dT)_P и, по пред­положению, положителен. Поэтому если1/₂ > V_x, то (dQ/dP₂)y₂<0. Наличие магнитного поля вызывает увеличение Q (без поля Q = 0, а с полем Q > 0) и, следовательно,—уменьшение Р₂ (при заданном V₂). Поскольку, по предположению, (ds/dP)_v > 0, то

отсюда, в свою очередь, следует s₂^H) < s⁽₂⁰⁾, что и требовалось доказать.

Наконец, рассмотрим уже упомянутый в начале параграфа случай, когда магнитное поле с обеих сторон поверхности раз­рыва лежит в тангенциальной к ней плоскости Я_га = 0 (перпен­дикулярная ударная волна). Из (72,5) имеем в этом случае v_t2 = v_n, т.е. тангенциальная составляющая скорости остается непрерывной. Соответствующим выбором системы координат можно поэтому всегда добиться, чтобы с обеих сторон разрыва было v^O, т.е. газ двигался бы перпендикулярно к разрыву; будем считать это сделанным. Далее, из уравнения (72,2) имеем

У₂Я₂ = У₁Я₁.

Имея в виду это соотношение, легко убедиться в том, что урав­нения (72,3—4) могут быть написаны в виде

Pl-Pl

e;-8i-_r-y(p;+p^,₁)(^-^)=o,

отличающемся от обычных уравнений для ударных волн в от­сутствие магнитного поля лишь изменением уравнения состояния; вместо истинного уравнения P = P(V, s) надо пользоваться урав­нением P* = P*(V, s), где

ft²

p»₌pj _

^{r r}^8nV*'

а буквой b обозначено постоянное произведение HV. Соот­ветственно, e* должно быть определено так, чтобы выполнялось термодинамическое соотношение (de*/dV)_s = — Р*, откуда

8лУ

й³

е* = е-