§ 68. Равновесные конфигурации

Равновесие идеально проводящей жидкости (будем говорить здесь для определенности о плазме), покоящейся в постоянном магнитном поле, описывается уравнениями

VP=7-[jH], (68,1)

J=^^rotH' <⁶⁸-²)

divH=0. (68,3)

Первое из них — уравнение (65,4), в котором положено v=0 и введена, для наглядности, плотность электрического тока, связан­ная с магнитным полем уравнением Максвелла (68,2). Мы рас­смотрим в этом параграфе некоторые общие свойства равновесных конфигураций, являющиеся следствием этих уравнений, совер­шенно не вдаваясь в сложные и многообразные вопросы об их устойчивости').

Умножив уравнение (68,1) скалярно на Н или на j, найдем,

что

(HV)P = 0, (}\)Р = 0, (68,4)

т. е. равны нулю производные давления вдоль магнитных сило­вых линий и вдоль линий тока. Другими словами, те и другие лежат на поверхностях

Р (х, у, z) = const; (68,5)

их называют магнитными поверхностями. В принципе, каждая магнитная поверхность могла бы быть границей равновесной кон­фигурации "-).

Уравнение равновесия (68,1 — 2) можно представить также и в виде

^ = 0, П^Рб,.,-^ (H_lHk-^H%_k) , (68,6)

если исходить из уравнения движения, записанного в виде урав­нения сохранения импульса (65,7 — 8). Умножив это уравнение на х_к, проинтегрируем его по некоторому объему, ограниченному замкнутой поверхностью. Преобразовав интеграл по частям и за­метив, что dx_k/dxi = 6_ik, получим³)

№_udV=<fn_lkx_kdf_t. (68,7)

После подстановки выражения U_ik из (68,6) это равенство при­нимает вид

^л) Основные результаты, относящиеся к этому вопросу (в рамках магнит­ной гидродинамики), можно найти в статье Б. Б. Кадомцева «Гидромагнитная устойчивость плазмы» в сборнике «Вопросы теории плазмы», выпуск 2, Мо­сква, 1963.

²) Давление Р определяется уравнениями (68,1—2) лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Поэтому любая из магнитных поверхно- стей может быть поверхностью Р = 0.

³) Этот вывод подобен известному выводу теоремы вириала—см, II § 34,

(S. Chandrasekhar, Е. Fermi, 1953).

Пусть плазма занимает некоторый конечный объем, вне кото­рого давление Р = 0, и пусть вне ее нет никаких заданных источ­ников поля (жестких проводников с током). Тогда вдали от плазмы поле убывает как 1/г³, и если распространить интегрирование по всему пространству, то интеграл по поверхности обращается в нуль. Но интеграл от заведомо положительной величины ЗР + #²/8я не может обратиться в нуль. Отсюда следует невозможность су­ществования ограниченной в пространстве равновесной конфигу­рации, не поддерживаемой магнитным полем от внешних источ­ников; при наличии же таких источников правая сторона равенства (68,8) сведется к интегралу по их поверхности и условие может, в принципе, быть удовлетворено (В. Д. Шафранов, 1957).

Рассмотрим простейшую неограниченную конфигурацию—не­ограниченно длинный цилиндрический плазменный шнур (или пинч¹)), однородный вдоль своей длины; в цилиндрической системе координат г, ф, z с осью z вдоль оси шнура все величины в нем зависят только от радиальной координаты г. Радиальная компо­нента Н_г должна быть равна нулю; в противном случае в силу уравнения

divH=!#(/-tf_r) = o, н_г ^const

г dr^{K r}' ^г

г

она обращалась бы в бесконечность при То же самое от-

носится к /_г в силу уравнения div j = 0, автоматически следующего из (68,2).

Равенство (68,2), написанное в компонентах, дает

. с dti_z . с d . j, .

If ^{= —} 4л ~dT ' ^lz~ 4n?d?^(r f>-

Из второй формулы имеем

Я_ф = -

J (r) = § j_t-2nrdr. . (68,9)

После этого уравнение (68,1) принимает вид

_^₌_JL_T_^)₄-_Li^. ₍68,Ю)

dr 2лс²г² dr ¹ 8л dr \ » /

Здесь возможны два существенно различных частных случая. В одном из них (его называют z-пинчем) Я_г = 0, /_Ф = 0. Умножив уравнение (68,10) на г² и проинтегрировав его по г от 0 до ра­диуса шнура а (с граничным условием Р(а) = 0), получим усло­вие равновесия в виде

а

^х) От английского слова to pinch—сжимать.

§P(r).2nrdr = ^J-^, (68,11)

где J (а) —полный ток вдоль шнура (W. Bennett, 1934). Удержа­ние равновесной конфигурации осуществляется в этом случае по­лем продольного тока.

В другом случае (тэта-пит¹)): #_ф = 0, /_г = 0. Из (68,10) имеем в этом случае

где fo — продольное магнитное поле вне шнура. Удержание плазмы осуществляется здесь внешним продольным полем.

В произвольной ограниченной в пространстве аксиально-сим­метричной конфигурации радиальные компоненты Н_г и j_r могут быть отличны от нуля (в тороидальной конфигурации). Кроме того, все величины могут теперь зависеть не только от г, но и от г.

Уравнения (68,1 — 3), записанные в компонентах, принимают

вид

дР дР

iv^Hz—iz^H<? = c-fr-i АД? —/<р#, = с-^-, j_zH_r=j_rii_g, (68,13)

1г = ~ы^Г> 1' = к?тА^гН^ Ь = ^ ^—, (68,14)

Очевидное (уже из векторной записи (68,1)) следствие этих уравнений: если плотность тока распределена азимутально (/_г = /_г = 0, /ф^О), то магнитное поле меридионально (Я_ф = 0). Если же магнитное поле азимутально, то можно сделать и более сильное утверждение: плотность тока не только меридиональна, но и вся равновесная конфигурация может быть только z-пинчем (/',. = 0, Я_ф и /_г не зависят от г); в этом легко убедиться, исклю­чив Р из первых двух уравнений (68,13) и воспользовавшись затем остальными уравнениями.

Систему уравнений (68,13—15) можно свести всего к одному уравнению (В. Д. Шафранов, 1957; Я. Grad, 1958).

Для этого введем величины

г г

^{у (г, г)= J H}_z^{-2nrdr, J (г, г)= § j}_z^{-2nrdr (68,16)}

о о

— магнитный поток и полный ток через круг радиуса г, перпен­дикулярный к оси z. Из этих определений и уравнений divH=0 и div j = 0 находим меридиональные компоненты поля и плотности

Название происходит от угла в цилиндрических координатах, часто обозначаемого буквой 0.

тока:

о ₌ L_£ и

г 2кгдг ' "г 2лгдг '

. \_dJ_ . _ 1 оУ

2ягй2 ' ^~2л717*

(68,17)

Эти выражения показывают, что градиенты чр и У ортогональны соответственно магнитной силовой линии и линии тока. Вспомнив сказанное в начале параграфа о поверхностях (68,5), заключаем отсюда, что величины of> и J постоянны на магнитных поверхно­стях, а тем самым—каждые две из величин of>, J, Р могут быть выражены в функции только от третьей. В частности,

Р = Р®), J = JW). (68,18)

Азимутальные компоненты поля и тока выражаются через af> и J с помощью уравнений (68,14):

„ 2J . с fd²\p 1 6Чь , 3²уЬ\ ,_{со 1П}.

Я_ф = —, h = -^[w-_Td7 + -o4²-)- <⁶⁸'¹⁹)

Наконец, подставив полученные выражения в первое из урав­нений (68,13), найдем искомое уравнение

дЧ 1 дф , д²ф _1С „ , dP 8л² dJ² _{/со пп}.

Задаваясь конкретной (произвольно выбранной) зависимостью Р (vj)) и J (ф) и решив это уравнение, получим некоторую, в прин­ципе возможную равновесную конфигурацию; распределение поля и токов в ней определяется формулами (68,17) и (68,19), а маг­нитные поверхности даются равенствами яр (г, г) = const. Для иллюстрации приведем выражение

|_o = y(№ + r²)z² + ^I(r²--^)², (68,21)

являющееся решением уравнения (68,20) при dPldty = const и dJ¹/dty = const; ib₀, a, b, R — постоянные, причем

^l6я3lф^L==~^G1l,o' ^w⁼~^bR2^-

Это решение описывает тороидальную конфигурацию, состоящую из вложенных друг в друга тороидальных магнитных поверх­ностей i() = const; любая из них может быть принята за границу плазмы, Р = 0. Самая внутренняя поверхность вырождается в ли­нию— в окружность r = R, г = 0 (эту линию называют магнитной осью). Вблизи магнитной оси

±tt±R²(b+l)z² + ±R²(a-l)(r-R)².

Так, если Ь1-\>0, а>1, то сечения магнитных поверхностей вблизи оси — эллипсы. При удалении от оси ф возрастает, а дав­ление падает. Снаружи от поверхности с Р = 0 (граница плазмы) необходимое для поддержания равновесия магнитное поле опре­деляется уравнением (68,20) без правой части, с граничными условиями непрерывности функции ф и ее нормальной произ­водной.