Глава II

ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ

§ 6. Электростатическое поле в диэлектриках

Перейдем теперь к изучению постоянного электрического поля в другой категории материальных сред—в диэлектриках.

Основное свойство диэлектриков заключается в невозможности протекания в них постоянного тока. Поэтому, в отличие от про­водников, напряженность постоянного электрического поля в ди­электриках отнюдь не должна быть равной нулю, и мы должны получить уравнения, которыми это поле описывается. Одно из них получается путем усреднения уравнения (1,3) и по-прежнему гласит:

rotE-0. (6,1)

Второе же получается усреднением уравнения dive = 4np:

divE-=4np. (6,2)

Предположим, что внутрь вещества диэлектрика не внесено извне никаких посторонних зарядов; это есть наиболее обычный и важ­ный случай. Тогда полный заряд во всем объеме диэлектрика остается равным нулю и после внесения его в электрическое поле:

[pdV = 0.

Это интегральное соотношение, которое должно выполняться для тела любой формы, означает, что средняя плотность зарядов может быть написана в виде дивергенции некоторого вектора, который принято обозначать как —Р:

р = — div Р, (6,3)

причем вне тела Р = 0. Действительно, интегрируя по объему, ограниченному поверхностью, охватывающей тело и проходящей везде вне его, получим

^{[ pdV = — J divPdV=—<fPdf = Q.}

Величина Р называется вектором диэлектрической поляризации (или просто поляризации) тела; диэлектрик, в котором Р отлично от нуля, называют поляризованным. Наряду с объемной плот­ностью (6,3), вектор Р определяет также и поверхностную плот­ность о зарядов, распределенных по поверхности поляризованного

диэлектрика. Если проинтегрировать формулу (6,3) по элементу объема, заключенному между двумя бесконечно близкими еди­ничными площадками, примыкающими с обеих сторон к поверх­ности диэлектрика, и учесть, что на наружной площалке Р = 0, то мы получим (ср. вывод формулы (1,9)):

° = Р_п, (М)

где Р_п—-составляющая вектора Р по внешней нормали к по­верхности.

Для выяснения физического смысла самой величины Р рас­смотрим полный дипольный момент всех внутренних зарядов в диэлектрике; в отличие от полного заряда, эта величина не должна быть равной нулю. По определению дипольного момента это есть интеграл

\ rpdV.

Подставив р в виде (6,3) и снова интегрируя по объему, выхо­дящему за пределы тела, получим

^{\rpdV = — J rdivPd]/ = — fr{dt Р) + $ (PV)rdV.}

Интеграл по поверхности исчезает, а во втором имеем (Pv)r = P, так что

\rpdV=\PdV. (6,5)

Таким образом, вектор поляризации представляет собой диполь­ный момент (или, как говорят, электрический момент) единицы объема диэлектрика¹).

Подставив (6,3) в (6,2), получим второе уравнение электро­статического поля в виде

divD = 0, (6,6)

где введена новая величина D, определяемая как

D = E + 4nP (6,7)

и называемая электрической индукцией. Уравнение (6,6) было получено путем усреднения плотности зарядов, входящих в состав диэлектрика. Если же в диэлектрик внесены извне посторонние по отношению к его веществу заряды (мы будем называть их сторонними), то к правой части уравнения (6,6) должна быть добавлена их плотность:

*) Следует заметить, что соотношение (6,3) внутри диэлектрика и условие Р = 0 вне его сами по себе еще не определяют величину Р однозначным обра­зом; в области внутри диэлектрика можно прибавить к Р любой вектор вида rot f. Лишь установление связи с дипольным моментом окончательно опре­деляет Р.

divD = 4np_CT. (6,8)

На поверхности раздела двух различных диэлектриков должны выполняться определенные граничные условия. Одно из этих условий является следствием уравнения rotE=0. Если поверх­ность раздела однородна по своим физическим свойствам¹), то это условие требует непрерывности тангенциальной составляющей напряженности поля:

Е_П = Е_<2 (6,9)

(ср. вывод условия (1,7)). Второе же условие следует из урав­нения divD = 0 и требует непрерывности нормальной к поверх­ности составляющей индукции:

D_nl = D_n2. (6,10)

Действительно, скачок нормальной составляющей D_n = D_z озна­чал бы обращение производной dDJdz (а с нею и div D) в бес­конечность.

На границе между диэлектриком и проводником E_f = 0, а ус­ловие для нормальной компоненты получается из (6,8):

Е, = 0, Я„ = 4яа_ет, (6,11)

где а_С1 — плотность зарядов на поверхности проводника (ср. •(1,8-9)).