Глава VIII

МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

§ 65. Уравнения движения жидкости в магнитном поле

Если проводящая жидкая (или газообразная) среда находится в магнитном поле, то при ее гидродинамических движениях в ней индуцируются электрические поля и возникают электричес­кие токи. Но на токи в магнитном поле действуют силы, которые могут существенно повлиять на движение жидкости. С другой стороны, эти токи меняют и само магнитное поле. Таким обра­зом, возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидродинамических явлений, которая должна рассматриваться на основе совместной системы уравнений поля и уравнений движе­ния жидкости.

В область применений магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты—от жидких металлов до кос­мической плазмы. Мы не будем обсуждать специфические условия, существующие в различных конкретных объектах. Укажем лишь, что для буквальной применимости магнитной гидродинамики необходимо, разумеется, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению соответственно с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов). В некоторых случаях, однако, уравнениями, совпадающими формально с уравнениями магнит­ной гидродинамики идеальной жидкости, может описываться и движение среды с большой длиной пробега. Такая ситуация имеет, например, место в неравновесной плазме с температурой электронов, много большей температуры ионов (ср. X § 38).

Магнитная проницаемость сред, о которых фактически идет речь в магнитной гидродинамике, мало отличается от единицы, и это отличие не имеет значения для изучаемых здесь явлений. Поэтому везде в этой главе мы будем полагать р,= 1¹).

Составим, прежде всего, систему магнитогидродинамических уравнений в условиях, когда можно пренебречь всеми диссипа-тивными процессами—для идеальной жидкости. Это значит, что не учитываются как процессы вязкости и теплопроводности, так

^х) В литературе по магнитной гидродинамике магнитное поле в этих условиях часто обозначают как В, подчеркивая тем самым, что речь идет именно об усредненной микроскопической напряженности h = B. Мы, однако, будем пользоваться здесь обозначением Н для единообразия с другими главами этой книги, где рассматриваются немагнитные среды.

и конечность электрической проводимости среды а; последняя рассматривается как сколь угодно большая. Положив в уравнениях (63,7) сг-> оо, пишем

divH=0, (65,1)

^{4£- = rot[vH].] (65,2)}

Гидродинамические уравнения содержат уравнение непрерывности

-|^-fdiv_Pv = 0 (65,3)

(р — плотность жидкости) и уравнение Эйлера

•f+ (vV)v = -lvP + |,

где f—объемная плотность сторонних, в данном случае электро­магнитных, сил. Согласно (35,4) имеем

J = 7-[JH]=^[rotH.H].

Таким образом, уравнение движения жидкости принимает вид ~ + (vv) v = --1 VP- J£ [Н rot Н]. (65,4)

К этим уравнениям надо еще присоединить уравнение состояния

/> = />(р, Г), (65,5)

связывающее между собой давление, плотность и температуру жидкости, и уравнение сохранения энтропии, выражающее ади-абатичность движения в отсутствие диссипации:

£-!+^=о, (⁶⁵-⁶>

где s — энтропия единицы массы жидкости, а

d д . _г

обозначает «субстанциональную» производную, определяющую из­менение величины при перемещении вместе с движущейся час­тицей жидкости. Уравнения (65,1—6) и составляют полную сис­тему магнитогидродинамических уравнений идеальной жидкости.

Как известно, уравнение Эйлера может быть приведено (с использованием также и уравнения непрерывности) к виду, вы­ражающему закон сохранения импульса:

*т₌-*п*, ₍65,7)

dt dx_k ' \ > /

где U_ik—тензор плотности потока импульса (см. VI § 7). В от­сутствие сторонних сил