§ 64. Возбуждение тока ускорением

Рассматривая в предыдущем параграфе движение проводника, мы пренебрегли возможным влиянием ускорения (если таковое имеется). Между тем ускоренное движение металла эквивалентно появлению дополнительных инерционных сил, действующих На

электроны проводимости. Если v—ускорение проводника, а т—• масса электрона, то эта сила равна —т\. Она оказывает на электрон такое же действие, какое произвело бы электрическое поле с напряженностью mv/e, где —е есть заряд электрона. Та­ким образом, эффективное электрическое поле, действующее на электроны проводимости в ускоренно движущемся металле, есть

E' = E+-Jv. (64,1)

Соответственно для плотности тока имеем

j = o-E' = o-(E + ^v) . (64,2)

Выразим из (64,1) Е через Е' и подставим в уравнение

, _с 1 дН

rot Е = тг

с dt

(полагаем везде р.= 1). Тогда

rotE' = -lf+^-rotv. (64,3)

Напишем v в виде суммы

v = u + [Gr],

где и — скорость поступательного движения, а Q—угловая ско­рость вращения тела. Дифференцируя по времени, найдем уско­рение

V = u -f [Qv] -f [Qr] = u + [uQ] -f [Q [Qr]] + [Qr].

Первые два члена не зависят от г и потому дают нуль при диф­ференцировании по координатам. Третий член может быть напи­сан в виде

[Q[Qr]] = -ygrad [Qr]²

и потому его rot тоже обращается в нуль. Наконец, rot [Qr] = = 2Q. Таким образом, подставив v в (64,3), получим

, _, 1 SH , 2/лл

rotE = нгН Q

с dt ¹ е

или

, _с, 1 дН'

rot Е = —

с dt

(64,4)

где введено обозначение

(64,5)

е

Поскольку £1 от координат не зависит, то уравнение

rotH =

сохраняет свой вид, если выразить в нем Н через Н':

rot Н' = — стЕ'.

с

(64,6)

Исключив Е' из уравнений (64,4) и (64,6), мы получим для Н' уравнение

4яадН'

с² dt

(64,7)

совпадающее с уравнением, которому удовлетворяет Н в непод­вижном проводнике.

Вне тела поле удовлетворяет уравнению АН = 0 (длина волны предполагается большой по сравнению с размерами тела); такому же уравнению будет удовлетворять и Н'.

Наконец, на поверхности проводника вместе с Н будет не­прерывным и Н'. Различно лишь условие на бесконечности: Н стремится к нулю, а Н' — к конечному пределу —2mc£i/e.

Таким образом, задача об определении переменного магнит­ного поля Н вокруг неравномерно вращающегося тела эквива­лентна задаче об определении поля Н' вокруг неподвижного тела, находящегося в однородном внешнем магнитном поле с напряженностью

(64,8)

По решению Н' этой задачи искомое поле Н^<е) вне проводника получается вычитанием ,<&.

Возникающее таким образом магнитное поле, как и всякое переменное поле, индуцирует в самом проводнике электрические токи. В односвязном теле эти токи проявляются в виде приоб­ретаемого телом магнитного момента. В неравномерно враща­ющемся кольце эффект проявляется как возникновение электро­движущей силы (эффект Стюарта—Толмэна).

§64]

ВОЗБУЖДЕНИЕ ТОКА УСКОРЕНИЕМ

31]

Тот факт, что в формулу (64,8) входит сама угловая скорость, а не ее производная по времени, может дать повод к недоразу­мению. Поэтому напомним, что все рассмотрение, а с ним и указанный выше смысл величины (64,8), относится только к неравномерному вращению. Действительно, при постоянном Q уравнение (64,7) с требуемым условием на бесконечности тож­дественно удовлетворяется значением Н'=ф; тогда в силу опре­деления (64,5) имеем Н = 0. Что касается магнитного поля, воз­никающего при равномерном вращении благодаря гиромагнитному эффекту (§ 36), то оно является малой величиной, не учитыва­емой нами здесь.

Отметим также, что при выводе мы отвлекались от деформации тела, возникающей при неравномерном вращении. Очевидно, что учет этой деформации не отразился бы на эффекте—если характерное время изменения угловой скорости велико по срав­нению со временем релаксации электронов проводимости при деформации (что и предполагается). Действительно, электричес­кий ток в проводнике вызывается градиентом суммы cp-f-^/e, где ср — потенциал поля, а £₀ — химический потенциал элект­ронов проводимости (см. § 26). Неоднородная деформация создает градиент £„, но он компенсируется электрическим полем, возникающим в силу условия термодинамического равновесия еф + £о = const.

Задачи

1. Определить магнитный момент неравномерно вращающегося шара (ра­диуса о). Скорость вращения предполагается настолько малой, что глубина проникновения 6^>о.

Решение. Магнитный момент, приобретаемый шаром в поле (t) (64,8),

есть

Л = Va§,

где а — оператор, действие которого на компоненты Фурье функции <q (t) определяется формулами, полученными в задаче 1 § 59. Для компонент с частотами со такими, что Ь^>а, имеем

aS = Va (со) § zz—m — Q.

Эта формула, переписанная в виде

Алта^ъа dQ 15сё аТ

не содержит в явном виде со, а поэтому справедлива и для не разложенных по Фурье функций Q(t), tJl (t) (предполагаем, что в их разложение входят в основном лишь частоты, удовлетворяющие поставленному условию).

2. Определить полный заряд, который протечет по тонкому круговому кольцу при остановке его равномерного вращения вокруг оси, перпендику­лярной к его плоскости.

(Ь — радиус кольца, V—объем провода).

3. Определить ток, возникающий в сверхпроводящем круговом кольце при остановке его равномерного вращения.

Решение. Из условия постоянства полного магнитного потока через кольцо (см. (54,5)) найдем

J =

2тс² el

Qnb² =

mc-bQ

2elln(86/a)—2]

(значение L — см. примечание на стр. 259).