§ 63. Движение проводника в магнитном поле

Во всем предыдущем изложении молчаливо подразумевалось, что проводники в электромагнитном поле покоятся (относительно системы отсчета К, в которой определены все величины Е, Н и т. д.). В частности, и связь j = стЕ между током и полем спра­ведлива, вообще говоря, лишь для неподвижных проводников.

Для определения связи между током и полем в движущемся проводнике перейдем от системы отсчета К к другой системе, К', в которой проводник (или его отдельный участок) в данный момент времени покоится. В этой системе имеем j = crE', где Е'—- напряженность электрического поля в К'- Но согласно из­вестной формуле преобразования полей Е' выражается через поле в системе К посредством *)

E' = E+-f[vB],

(63,1)

где v—скорость системы К' относительно системы К, т. е. в данном случае—скорость проводника (которую мы предпо­лагаем, естественно, малой по сравнению со скоростью света). Таким образом, находим

(63,2)

Это и есть формула, определяющая связь между током и полем в движущихся проводниках. По поводу ее вывода надо сделать еще следующее замечание. Произведя переход от одной системы отсчета к другой, мы преобразовали поле, но оставили величину j неизменной. Преобразование плотности тока привело бы, при v<iic, к появлению добавочных членов высшего порядка малости. В формуле же (63,2) второй член, появившийся в ре­зультате преобразования поля, вообще говоря, не мал по срав­нению с первым, хотя и содержит множитель v/c. Так, если

*) См. II § 24. Микроскопические значения напряженностей электриче­ского и магнитного полей заменены нх усредненными значениями е = Е, h = B.

электрическое поле само обусловлено электромагнитной индук­цией от переменного магнитного поля, то его порядок величины содержит лишний множитель 1,с по сравнению с магнитным полем.

Диссипация энергии в проводнике при протекании в нем заданного тока не может, разумеется, зависеть от движения проводника. Поэтому плотность выделения (в 1 с) джоулева тепла в движущемся проводнике, выраженная через плотность тока, дается той же формулой /-а, как и в неподвижном проводнике. Но вместо произведения jE теперь имеем¹)

j i'e -i- ^; ; vBj .

а ¹ \ с ^{1 1} /

Таким образом, в движущемся проводнике сумма E-f-[vB]c играет роль «эффективной» напряженности электрического поля, создающей ток проводимости. Поэтому электродвижущая сила, действующая в замкнутой линейной цепи С, дается интегралом

<В^-§ [Е +4[vBJ \d\. (63,3)

с ''

Преобразуем его след\'ющим образом. Согласно уравнению

Максвелла rot Е — =- имеем

с dt

& Е dl - \ rot Е df - - - 4т f В di,

^с s s

или. обозначив посредством Ф магнитный поток через поверх­ность S, опирающуюся на контур тока,

о с V dt

Производная по времени с индексом v = 0 означает изменение магнитного потока, обусловленное изменением во времени самого магнитного поля при неизменном положении контура С.

Во втором же члене пишем \----dadt, где du — бесконечно малое смещение элемента контура. Тогда

<f [vB]dl

r'[rfub]rf! 3^B(/f

' j dt dt

с