§ 54. Сверхпроводящий ток

Рассмотрим более подробно некоторые свойства сверхпровод­ников, зависящие от их формы.

Если сверхпроводник представляет собой односвязное тело, то в отсутствие внешнего магнитного поля в нем вообще невоз­можно существование каких-либо стационарно протекающих по­верхностных токов. В этом можно убедиться путем следующих рас­суждений. Поверхностные токи создавали бы в окружающем тело пространстве постоянное магнитное поле, исчезающее на бесконеч­ности. Как всякое постоянное магнитное поле в пустоте, оно было бы потенциальным, причем в силу граничных условий на сверхпроводнике нормальная производная ду/дп потенциала на поверхности тела должна обращаться в нуль. Но из теории по­тенциала известно, что если ду/дп = 0 на поверхности односвяз-ного тела и на бесконечности, то ф = 0 во всем пространстве (вне тела). Таким образом, такое магнитное поле, а с ним и по­верхностные токи не могут существовать.

Внешнее же магнитное поле индуцирует на поверхности од-носвязного сверхпроводника токи, что можно воспринимать как появление у тела как целого определенного магнитного'момента. Это «намагничение» легко вычислить для сверхпроводника, имею­щего эллипсоидальную форму¹).

Пусть £—внешнее поле, параллельное одной из главных осей эллипсоида. Для магнитного поля внутри несверхпроводя­щего эллипсоида имеет место соотношение

(1— п)Н + пВ = $,

где п—коэффициент размагничивания вдоль данной оси (см. (29,14)). В сверхпроводнике «напряженность» Н не имеет, как уже было указано, физического смысла, а вместе с нею не име­ет своего обычного смысла также и намагниченность М = = (В—Я)/4л;. Тем не менее, в данном случае удобно ввести Я и М чисто формальным образом как вспомогательные величины, служащие для вычисления полного магнитного момента cS = MV (V—объем эллипсоида), имеющего свой буквальный физический

^J) В этом параграфе везде подразумевается, что магнитное поле не пре­восходит тех значений, при которых происходит разрушение сверхпроводя­щего состояния (см. § 55).

смысл. Положив для сверхпроводящего эллипсоида В = 0, на­ходим

tf = JL (54,1)

и затем

В частности, для длинного цилиндра в продольном поле и = 0, так что Н = ,'о и о£=—Vfe/in¹). Эти значения оМ таковы, как если бы тело обладало объемной диамагнитной восприимчи­востью—1/4 п.

Магнитное поле И_е вне эллипсоида у его поверхности на­правлено везде по касательным, и поэтому его величина непо­средственно определяется условием непрерывности тангенциальных составляющих Н. Внутри эллипсоида Н=.<>/(1—п)\ проектируя этот вектор на касательное направление, получим

Я, = A sin 9, (54,3)

где 9—угол между направлением внешнего поля Ь и нормалью в данной точке поверхности эллипсоида. Наибольшее значение Н_е имеет на экваторе эллипсоида, где оно равно S}l(\—п).

Подчеркнем еще раз, что между токами, ответственными за «намагничение» сверхпроводника и создающими полный ток в нем, нет никакой принципиальной разницы: они имеют одинаковую физическую природу. Это обстоятельство позволяет, в частности, непосредственно определить гиромагнитные коэффициенты для любого сверхпроводника. Действительно, плотность импульса частиц (электронов), создающих намагничивающие токи, отлича­ется от плотности этих токов лишь множителем т/е (е и т—за­ряд и масса электрона). Ввиду определения гиромагнитных ко­эффициентов (см. (36,3)) отсюда сразу следует, что у сверхпроводника всегда

gik =

*) Эти соотношения для цилиндра являются непосредственным следствием условия непрерывности Н и потому справедливы для цилиндра с любой (не обязательно круговой) формой сечения.

Перейдем к многосвязным сверхпроводникам. Их свойства существенно отличаются от свойств односвязных тел — прежде всего потому, что к ним не относится вывод о невозможности стационарного протекания поверхностных токов в отсутствие внеш­него магнитного поля. Более того, поверхностные токи не долж­ны здесь взаимно компенсироваться и могут приводить к стаци­онарному протеканию по телу полного сверхпроводящего тока в отсутствие приложенной извне электродвижущей силы.

Рассмотрим двусвязное тело (кольцо) в отсутствие внешнего магнитного поля и покажем, что его состояние вполне опреде­ляется заданием полного протекающего по нему тока /. Задача об определении создаваемого кольцом поля тоже может решать­ся как задача теории потенциала, но только потенциал ф будет теперь многозначной функцией, меняющейся на 4гс//с при обходе по любому замкнутому пути, проходящему через отверстие кольца (ср. § 30). Для того чтобы поставить задачу математически точно, надо произвести «разрез» пространства по какой-либо поверх­ности, закрывающей отверстие кольца. Тогда задача заключается в решении уравнения Лапласа с граничным условием дф/дп = 0 на поверхности кольца, ф = 0 на бесконечности и с условием ф₃—ф_{1 =} 4гс//с на поверхности разреза, где ф* и ф₂—значения потенциала на двух сторонах последней. Такая задача, как из­вестно из теории потенциала, имеет однозначное решение (не зависящее от формы выбранной поверхности разреза). По рас­пределению же поля вблизи поверхности кольца однозначно оп­ределяется и распределение в нем поверхностных токов.

Вместе с распределением токов вполне определенной величи­ной оказывается коэффициент самоиндукции сверхпроводящего кольца. В этом отношении имеется существенное отличие от обычных проводников, в которых распределение токов, а с ним и точное значение самоиндукции, зависит от способа, которым был возбужден ток (§ 34)¹).

В § 33 было введено понятие о магнитном потоке Ф через контур линейного проводника и было показано, что Ф.= Ы/с, где L—самоиндукция проводника. Для сверхпроводящего же кольца понятие о магнитном потоке имеет смысл и при любой, не обязательно малой, толщине кольца. Действительно, в силу тангенциальности магнитного поля его поток через любую часть поверхности самого кольца равен нулю; поэтому величина маг­нитного потока через поверхность, закрывающую отверстие сверх­проводящего кольца, не зависит от выбора этой поверхности.

Более того, остается в силе также и формула

*) Самоиндукция тонкого сверхпроводящего кольца (радиуса Ь) из про­вода кругового сечения (радиуса а) совпадает с внешней частью самоиндук­ции несверхпроводящего кольца и дается формулой

лип ⁸⁶ = 4nb 1п —

а

(см. задачу 2 § 34).

Точное решение задачи о сверхпроводящем круговом токе дано В. А. Фо­ком (Phys. Zs. d. Sowjetunion, 1932, Bd 1, S. 215).

Ф=\и (54,4)

с самоиндукцией L, по-прежнему определенной по полной энер­гии магнитного поля тока. Полная энергия магнитного поля

сверхпроводника дается интегралом \g^dV, взятым по всему

пространству вне тела. Производя, как указано выше, «разрез» пространства по некоторой поверхности С, вводим потенциал поля и пишем

Первый интеграл равен нулю, так как divH = 0. Второй же ин­теграл берется по бесконечно удаленной поверхности, по поверх­ности кольца и по обеим сторонам поверхности разреза; на первых двух подынтегральное выражение обращается в нуль, так что остается

с с

где Ф—магнитный поток через поверхность С. Сравнивая это выражение с LJ*/2c² (по определению самоиндукции), получим искомое равенство (54,4).

Если кольцо находится во внешнем магнитном поле, то пол­ный магнитный поток Ф складывается из собственного потока LJ/c и потока Ф_& от внешнего поля. Важное свойство сверхпро­водящего кольца состоит в том, что при любом изменении внеш­него поля и тока полный магнитный поток через кольцо остается постоянным:

ILJ +Ф, = const = Ф₀. (54,5)

Это следует непосредственно из интегральной формы уравнения Максвелла в пространстве вне- тела:

с

Если производить интегрирование по поверхности С, закрываю­щей отверстие кольца, то контуром интегрирования в правой стороне равенства будет линия, проходящая по поверхности кольца. Но на поверхности сверхпроводника тангенциальная составляющая Е равна нулю (так как внутри сверхпроводника Е = 0, a E_t непрерывна на поверхности). Поэтому правая сторона равенства обращается в нуль и мы находим, что d&ldt — O.

Соотношением (54,5) определяется изменение тока в кольце при изменении внешнего поля. Так, если кольцо было переведено в сверхпроводящее состояние во внешнем поле, создававшем поток Ф₀, и затем это поле выключается, то в кольце индуци­руется стационарный ток, равный J — сФ₀/Ь.

Постоянство магнитного потока через сверхпроводящее кольцо имеет место не только при изменении внешнего поля, но и при любом изменении формы кольца или его перемещении в прост­ранстве¹). Можно сказать, что силовые линии никогда не могут пересекать поверхности сверхпроводника, а потому не могут «выйти» из отверстия сверхпроводящего кольца.

Изложенные результаты непосредственно обобщаются на слу­чай сверхпроводящих тел любой степени связности, в том числе на совокупность любого числа колец. Состояние n-связной системы в отсутствие внешнего поля полностью определяется заданием п—1 значений полных токов J_а. Соотношение же (54,5) обоб­щается в систему уравнений

2Ь„_ь/_ь + Ф?^> = Ф„о. (54,6)

ъ

Эти уравнения справедливы не только при любом изменении внешнего поля, но и при изменениях формы или взаимного рас­положения тел.

Задача

Определить магнитный момент сверхпроводящего диска в перпендикуляр­ном к нему внешнем магнитном поле ²).

Решение. Задача о сверхпроводнике в постоянном магнитном поле формально совпадает с электростатической задачей для диэлектрика с диэлект­рической проницаемостью s = 0. Рассматривая диск как предел эллипсоида вращения при с—>■ 0 (ср. задачу 4 § 4) и воспользовавшись формулой (8,10) с соответствующим изменением обозначений (поле § вдоль оси г), получим

^2а3 «.