§ 45. Однодоменные частицы

По мере уменьшения размеров тела образование доменов становится в конце концов термодинамически невыгодным, так что достаточно малые ферромагнитные частицы представляют собой «однодоменные» однородно намагниченные образования. Кри­терий для их размеров / получается путем сравнения магнитной энергии однородно намагниченной частицы с энергией неодно­родности, которая возникла бы при наличии существенной неод­нородности в распределении намагниченности по объему частицы. Первая — порядка величины M²V, а вторая ~ aM²V/l². Поэтому размеры однодоменных частиц ^х)

l^Va. (45,1)

*) О свойствах ансамблей таких частиц иногда говорят как о микро-магнетизме.

Для выяснения поведения однородно намагниченной частицы во внешнем магнитном поле надо рассмотреть ее полную свобод­ную энергию, подставив в формулу (32,7) для F сумму выраже­ния (39,1) и энергии анизотропии¹):

¥=vu_M-^-[(H+&)dv, (⁴⁵'²)

причем интегрирование производится только по объему тела; несущественная постоянная VF₀ опущена. Пусть частица имеет форму эллипсоида. Тогда поле Н внутри нее определяется равен­ством (29,14) или

#.=£. — 4лп_;кМ_к; (45,3)

здесь второй член — создаваемое телом «размагничивающее поле». Таким образом, находим:

¥ = 2n.n_ikMjM_kV—VMS? + VU_an. (45,4)

Первый член называют собственной магнитостатической энер­гией намагниченной частицы, а второй представляет собой ее энергию во внешнем поле.

Направление намагниченности частицы во внешнем поле So определяется условием минимальности ¥ как функции направ­ления М. Для кубического кристалла можно пренебречь в (45,4) энергией анизотропии. Для одноосных кристаллов, написав энер­гию анизотропии в виде $_!kM;M_k/2, имеем

Г = -^(4лп_(А + р_/А)Л1₁.М_А-КфМ. (45,5)

Поставленная таким образом задача в математическом отно­шении совпадает с рассмотренной в § 41 задачей о зависимости местного М от местного поля Н, отличаясь лишь заменой Н на & и p,._ft на 4лп_;,_г или 4mi_ik + ^_ik.

Наконец, выведем уравнение, которому должно удовлетворять распределение намагниченности в однодоменном образце в усло­виях, когда это распределение еще нельзя считать однородным. Для этого надо потребовать минимальности полной свободной энергии тела, которую напишем в виде интеграла

#- = pdl/ = j{F₀(M) + t/неодн + и_п-№-Щ dV, (45,6)

^г) Пренебрегая магнитострикцией, мы не делаем различия между термо­динамическим потенциалом и свободной энергией, рассматривая последнюю при заданном объеме тела V.

берущемуся по всему пространству. Варьирование производится по М (теперь — функции координат) при заданном в каждой точке значении Н; абсолютная величина М полагается заданной, так что варьируется лишь направление М. Опустив в подынтег­ральном выражении члены, зависящие только от М и от Н,

варьируем интеграл

который берется теперь только по объему тела (где м Ф 0). Произведя (после варьирования) в первом члене интегрирование по частям, находим

6Г = - j{a,,M² + М Н} 6m dV +

+ §a_ikM* (45,7)

dU.

-МП

dm

второй интеграл берется по поверхности тела. Поскольку т² = 1, то т 6т = 0, т. е. вариация имеет вид 6т = [бю-т], где 6ю — произ­вольная (малая) функция координат. Из условия 6<F = 0 находим, приравняв нулю множитель при 6ю в подынтегральном выражении объемного интеграла, искомое уравнение¹)

<5²т

= 0. (45,8)

dm

дп

т

Из равенства же нулю интеграла по поверхности находим гра­ничное условие к этому уравнению; так, при a_ik = ab_ik это усло­вие имеет вид

= 0, (45,9)

где п — направление нормали к поверхности тела.

Наряду с уравнением (45,8) должны, разумеется, удовлетво­ряться во всем пространстве уравнения Максвелла

div(H+4nMm) = 0, rotH = 0 (45,10)

с обычными граничными условиями к нему на поверхности тела и с условием Н —>■ S? на бесконечности ²).

¹) Оно совпадает, естественно, с уравнением движения (прецессии) магнит- ного момента в ферромагнетике, если положить в нем скорость dM/dt равной нулю (см. IX § 69).

²) Может возникнуть вопрос о правомерности варьирования интеграла (45,6) по m при постоянном Н, несмотря на то, что они связаны между собой первым из уравнений (45,10). Дело, однако, в том, что если положить Н= —v<P (ввиду второго уравнения) и вычислить вариацию интеграла по ф, то она обратится в силу первого уравнения в нуль, так что варьирование по Н не Дает вклада в 6J?.

Для однородно намагниченного тела (эллипсоида) первый член в круглых скобках в (45,8) исчезает. Оставшееся уравнение (с Н из (45,3)) совпадает с условием минимальности свободной энер­гии (45,5).