§ 41. Кривая намагничения ферромагнетиков

Рассмотрим связь между намагниченностью одноосного ферро­магнетика и магнитным полем в нем; для определенности будем считать, что ферромагнетик относится к типу «легкая ось». Энер­гию анизотропии будет удобно переписать здесь в виде

c/_aH=-^lsin²9, (41,1)

введя безразмерный коэффициент р* > 0 (согласно К = [Ш²/2)¹).

Напомним, что абсолютную величину намагниченности М мы считаем не зависящей от Н, так что речь идет только о пово­ротах этого вектора²). Из соображений симметрии очевидно, что вектор М будет лежать в плоскости, проходящей через ось z и направление Н (постольку, поскольку в энергии анизотропии не учитываются члены высших порядков, анизотропные в плоско­сти ху); выберем эту плоскость в качестве плоскости xz. Термо­динамический потенциал с учетом энергии анизотропии равен³)

Ф = Ф₀(М) + |м1-НМ-^ =

= Ф₀(М) + ^5т²0— М (Я* sin 6 +Я, cos 6) — ^. (41,2)

Зависимость М от Н определяется условием равновесия 6Ф/<30=0, откуда

pM sin 9 cos 9 = Н_х cos 9—H_z sin 9. (41,3)

По отношению к неизвестной | = sin 9 это есть алгебраическое уравнение четвертой степени

Фмг-н_ху(\-¥)=т¥

^х) Излагаемое ниже исследование основано на выражении (41,1) для энер­гии анизотропии. Следует, однако, указать, что разложение, первым членом которого является это выражение, в реальных случаях обычно обладает до­вольно плохой сходимостью. Поэтому для удовлетворительного количествен­ного описания явлений приходится учитывать еще и член следующего (четвер­того) порядка.

²) Помимо рассматриваемого здесь процесса вращения вектора М, в фер- ритах в очень сильных полях возможен еще и другой процесс: антипараллель- ные магнитные момеьты поворачиваются навстречу друг другу, становясь па- раллельными. Это происходит, однако, лишь в «обменных» полях Н~Т_с/ц; так, для феррита FeO-Fe₂0₃ (T_cs;580K, И~Н-в) ^{эти поля} Я~10⁷Э.

³) Включив U_aH в термодинамический потенциал Ф, мы тем самым под- разумеваем, что константы анизотропии определены при заданных упругих напряжениях.

с отличными от нуля коэффициентами при нечетных степенях £. Это уравнение имеет либо два, либо четыре вещественных корня (причем все они < 1). Поскольку все эти корни соответствуют экстремумам функции Ф(0), то ясно, что в первом случае эта функция имеет один минимум и один максимум, а во втором — два минимума и два максимума. Другими словами, в первом слу­чае заданному значению поля Н соответствует одно направление намагничения. Во втором же случае при заданном Н возможны два различных направления М, из которых одно (соответствую­щее меньшему из минимумов Ф) термодинамически вполне устой­чиво, а второе (соответствующее большему из минимумов Ф) тер­модинамически метастабильно.

Тот или другой случай имеет место в зависимости от значе­ний Н_х и Н_г. При постепенном изменении этих параметров один случай переходит в другой в момент, когда один из максимумов сливается с одним из минимумов. При этом кривая Ф (0) имеет вместо экстремума точку перегиба, т. е. вместе с дФ/дб обращается в нуль также и вторая производная <Э²Ф/д0². Написав уравнение (41,3) в виде

sin 0 cos 0 ^г

и продифференцировав его еще раз по 0, получим

sin³ 0

Н,

cos³ 0

Исключив 9 из этих двух уравне­ний, получим

НЧ* + Н\'' = ®М)Ч>. (41,4)

На диаграмме Н_х, H_z уравнение (41,4) определяет изображен­ную на рис. 21 замкнутую кривую (астроида). Она делит пло­скость Н_хН_г на две части, из которых в одной возможно, а в другой невозможно существование метастабильных состояний. Уже без дополнительного исследования очевидно, что областью отсутствия метастабильных состояний является область, внешняя по отношению к кривой. Это ясно из того, что при Н—+оо ус­тойчивым может быть только одно направление М вдоль поля Н.

Наличие метастабильных состояний приводит к возможности существования гистерезиса — проходящему через эти состояния необратимому изменению намагниченности при изменении внеш­него магнитного поля. Поэтому изображенная на рис. 21 кривая представляет собой абсолютную границу гистерезиса,— при зна­чениях поля, лежащих вне этой кривой, гистерезис во всяком случае невозможен¹).

Особого рассмотрения требуют состояния, в которых напря­женность Н перпендикулярна к оси легкого намагничения (Н_х—Н, Я, = 0). Термодинамический потенциал

Ф = Ф_й—~ + sin² 9—ЯМ sin 0. (41,5)

Если Я>р*М, то Ф имеет лишь один минимум—при 9 = л/2, т. е. намагниченность направлена вдоль поля. Если же Я<рМ, то Ф имеет минимум при

M_x = MsmQ = H$, (41,6)

чему соответствуют два возможных расположения вектора М (под углами 9 и я— 6), симметричные относительно оси х. Таким об­разом, в этом случае имеются два равновесных состояния, причем с одинаковыми значениями Ф и потому в равной степени устой­чивые.

Это обстоятельство весьма существенно, так как приводит к возможности существования двух соприкасающихся фаз, в ко­торых напряженность Н одинакова, а намагниченность М (а потому и индукция В) различна. В результате появляется новая воз­можность для уменьшения полного термодинамического потен­циала тела: его объем можно разбить на ряд отдельных областей, в каждой из которых намагниченность имеет одно из своих двух допустимых направлений; эти области называют областями спон­танной намагниченности или доменами. Фактическое определение термодинамически равновесной структуры ферромагнетика тре­бует рассмотрения тела в целом, с учетом его конкретной формы и размеров; мы вернемся еще к этому вопросу в § 44.

Рассмотрим участок тела, малый по сравнению с его полным объемом, но большой по сравнению с размерами доменов. Напря­женность Н_х можно считать постоянной вдоль всего этого участка, а посредством М и В обозначим значения М и В, усредненные по его объему. Вместе с Я_х постоянна и поперечная составляю­щая М_х = Н_хф намагниченности. Продольная же составляющая М_г в различных доменах отличается знаком, так что ее среднее значение во всяком случае не превосходит | M_z\. Учитывая также, что везде Я₂ = 0, имеем для средней индукции:

В_Ж = Я_Я(1+^), B_z<4n j//W²-^. (41,7)

^J) Во всем изложении в этой главе мы ограничиваемся рассмотрением только термодинамически равновесных состояний ферромагнетиков и, соот­ветственно, обратимых процессов в них. В частности, мы совершенно не ка­саемся механизма гистерезисных явлений, которые могут быть связаны с де­фектами кристалла, внутренними напряжениями в образце, полнкристаллич-ностью и т. п. причинами.

Этими формулами определяется область значений средней индук­ции, соответствующая доменной структуре одноосного ферромаг­нетика.

Исследование зависимости М от Н для кубического кристалла может быть в принципе произведено аналогично тому, как это было сделано выше для одноосного кристалла. Однако, ввиду большей сложности уравнений, получение явных аналитических формул оказывается здесь невозможным, и мы не будем больше останавливаться на этом вопросе.

Задачи

1. Одноосный ферромагнитный кристалл имеет форму эллипсоида враще­ния (причем ось легкого намагничения совпадает с осью вращения) и поме­щен во внешнее магнитное поле £>. Определить область значений при ко­торых тело будет обладать доменной структурой.

Р е ш е и и е. Согласно общим свойствам эллипсоидальных тел в однородном внешнем поле (§ 8), усредненные по доменной структуре индукция В и напря­женность Н~Н связаны с £ соотношением

пВ_г + (1-п)Н_г = & , -—^ В_х -!- Н_х = §_х,

где «—коэффициент размагничивания вдоль главной осп эллипсоида (ось г). Положив H_z — 0 и используя формулы (41,7), получим

Исключив отсюда Н_х, найдем искомое неравенство

(4лп)^{2 1} [В + 2я (1 — и)]²

< М²,

определяющее область существования доменной структуры.

2. Для поликристаллического тела в сильном (Я^-4лМ) магнитном поле определить усредненную по кристаллитам намагниченность; кристаллиты об­ладают одноосной симметрией.

Решение. Пусть в пределах одного кристаллита G и ф— углы между его направлением легкого намагничения и соответственно векторами М и Н. Заранее очевидно, что в сильном поле направление М будег близким к на­правлению Н, т.е. угол 0=9 — ф мал. Написав в (41,2) МН = МН cos (6 — ф) и приравняв нулю производную дФ/dQ, получим

В V/

■& яг sin 0 = — ^— sin 9 cos 6. п

Средняя намагниченность направлена, очевидно, вдоль Н и равна

1

M = Mcosr> = M( 1~^-0²]=М

В²М

1 г. г,9 sin'² G cos² G

2Я²

где черта означает усреднение по кристаллитам. Предполагая все направления оси легкого намагничения кристаллитов равновероятными, получим

М = М 1

15 Я²

Таким образом, средняя намагниченность приближается к насыщению по за­кону М — М jc Я~².

3. То же при кубической симметрии кристаллитов.

Решение. Условия минимальности выражения

■М%-{Н_хМ_х + Н„М_у + Н_гМ_г)

(в (40,7) положено /С=рМ²/2) при дополнительном условии М\-\-М_у-\-М% = = const гласят:

щ\-\-н_х = ш_х, $м1-\-н_у = ш,_г рЛ1г+Я_г=Ш.,

где X — лагранжев неопределенный множитель. При большом Я имеем отсюда М_х х 4" Н_хЛ-$-.Н_х + ....

а складывая квадраты этих равенств, найдем /Л² яе Я²д², т.е. кхН/М. Угол ■& между М и Н находим как

^{V -in2 *=£ «(я;-я;)%}

где суммирование производится по циклическим перестановкам индексов х, у, г. Усреднение этого выражения по ориентациям кристаллитов эквивалентно усреднению по направлениям вектора Н. Последнее производится путем инте­грирования по сферическим углам, определяющим направление Н, и в резуль­тате получается:

М=М 1