§ 32. Полная свободная энергия магнетика

¹) Подробнее о смысле этого различия—см. примечание иа стр. 176.

В § 11 были получены выражения для полной свободной энергии ¥ диэлектрика в электрическом поле. Один из термоди­намических аспектов этой величины заключается в том, что ее изменение определяет работу, произведенную электрическим по­лем над телом при неизменных источниках (зарядах), создающих это поле. В магнитном же поле аналогичную роль играет сво­бодная энергия ¥, так как при заданных источниках (токах) поля именно ее изменение дает произведенную над телом работу.

Следующий ниже вывод полностью аналогичен тому, который был произведен в § 11. «Полную» величину ¥ мы определяем как

где ф— магнитное поле, которое создавали бы данные источники в отсутствие намагничивающейся среды. Знак + в скобке (вместо знака— в (11,1)) связан с тем, что значение ¥ для магнитного поля в пустоте есть

(см. (31,7)). Интегрирование в (32,1) производится по всему про­странству, включая объем проводников, несущих токи, которые создают поле¹).

Вычислим изменение ¥ (при заданной температуре и без на­рушения термодинамического равновесия среды) при бесконечно

малом изменении поля. Поскольку 8F = — -^-ВбН, то имеем

= _^_J(H-i&)6$dK-i_rjB(6H-6«)d7-₁LJ(B-H)6*dK.

(32,2)

Вводя векторный потенциал ЗС поля ф пишем в первом члене

(Н —$)6& = (Н —$) rot 821 = div [б«(Н —$)] + 6»rot(H —$).

Но поля Н и $ создаются, по определению, одними и теми же токами j, распределение которых по объему проводников не за­висит (см. § 30) от создаваемого ими же поля, т. е. не зависит от наличия или отсутствия магнетиков в окружающем простран­стве. Поэтому Н и jp удовлетворяют одинаковым уравнениям

¹) В § 11 мы считали, что интегрирование в (11,1) производится по всему пространству, исключая объем заряженных проводников, создающих поле. Там можно было так делать, поскольку внутри заряженного проводника электриче­ское поле все равно отсутствует. Магнитное же поле имеется и внутри про­водников, несущих токи, и исключать его при вычислении полной свободной энергии нельзя.

rot Н = —), rot& = —),

так что rot(H — &) = 0. Интеграл же от div [821 (Н — &)] преоб­разуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и об­ращается в нуль.

Аналогичным образом убеждаемся в том, что равен нулю и второй член в (32,2), так что

Ь¥ = — j (В - Н) б$ dV = — j Мбф dV. (32,3)

Таким образом, мы получили для 8JF выражение, аналогичное выражению (11,3) для 8¥ в электрическом случае. В частности, в однородном внешнем магнитном поле § имеем для d¥ выраже­ние, аналогичное (11,5):

d¥ = — tf'dT — MdS?, (32,4)

где Ж—полный магнитный момент тела.

Не повторяя дальнейших вычислений, напишем следующие формулы по аналогии с формулами в § 11. При линейной связи B = yH имеем

¥ - ¥₀ (V, Т) = - j 1 $?М dV. (32,5)

В частности, в однородном внешнем поле

¥-¥₀ (V, Т) = - V, *ЛС. (32,6)

В общем же случае произвольной зависимости В от Н для вы­числения ¥ можно пользоваться формулой

аналогичной формуле (11,12) для диэлектриков.

В § 11 были указаны также упрощенные формулы, относящиеся к случаю малой диэлектрической восприимчивости. Аналогичный случай для магнитного поля особенно существен ввиду упоминав­шейся уже малости магнитной восприимчивости большинства тел. При этом имеем

r-£"₀ = --|j$W. (32,8)

Для магнитного поля можно получить также и результаты, аналогичные результатам § 14. Речь идет об изменении термоди­намических величин магнетика при бесконечно малом изменении его магнитной проницаемости р.; источники поля предполагаются при этом неизменными. После всего сказанного выше заранее ясно, что вместо изменения ¥ (как в § 14) надо рассматривать теперь изменение ¥. Мы не станем повторять здесь вывода, ана­логичного выводу формулы (14,1). Он приводит к тому же