§ 30. Магнитное поле постоянных токов

Если в проводнике течет отличный от нуля полный ток, то средняя плотность тока в нем может быть представлена в виде суммы

pv =crot M-f j.

Первый член, связанный с намагниченностью среды, не дает вклада в полный ток, так' что полный перенос заряда через

поперечное сечение тела определяется интегралом \)di только от второго члена. Величину j называют плотностью тока про­водимости¹). Именно к ней относится все сказанное в § 21, в частности, энергия, диссипируемая в единицу времени в единице объема, равна Ej.

Распределение тока j по объему проводника определяется указанными в § 21 уравнениями, в которые не входит создавае­мое этими же токами магнитное поле (при условии пренебреже­ния влиянием поля на свойства проводимости самого металла). Поэтому задача об определении магнитного поля токов должна решаться по заданному распределению последних. Уравнения этого поля отличаются от полученных в § 29 уравнений нали­чием члена 4л]/с вместо нуля в правой части (29,7):

divB=0, (30,1)

rotH = ^j. (30,2)

Плотность тока проводимости j, пропорциональная напряжен­ности электрического поля, является величиной ограниченной, не обращающейся в бесконечность, в частности и на границе раздела двух сред. Поэтому наличие правой части в уравнении (30,2) не отражается на граничном условии непрерывности тан­генциальных компонент Н.

Для решения уравнений (30,1—2) удобно ввести векторный потенциал А, положив

В = rot А, (30,3)

*) Величину же с rot М иногда называют плотностью молекулярных токов. Это название, однако, не вполне соответствует истинной физической картине движения зарядов в проводнике. Так, в металле вклад в намагниченность дают не только электроны, движущиеся внутри атомов, но и электроны про­водимости.

в результате чего уравнение (30,1) удовлетворяется тождествен­но. Равенством (30,3) векторный потенциал еще не определя­ется однозначно.:К нему можно прибавить, не нарушая (30,3), любой вектор вида grad f. Ввиду этой неоднозначности можно наложить на А одно дополнительное условие, в качестве кото­рого выберем

divA=0. (30,4)

Уравнение для А получается подстановкой (30,3) в (30,2). При линейной связи В = цН имеем

rot (lrotA) = £j. (30,5)

В таком виде это уравнение справедливо для любой неоднород­ной среды.

В однородной среде р = const, и поскольку rot rot А = =graddiv А — АА = — АА, то уравнение (30,5) приводится к виду

АА= —~ HJ- (30,6)

Если же мы имеем дело с совокупностью двух или более различных соприкасающихся сред, каждая из которых обладает своей магнитной проницаемостью ц, то общее уравнение (30,5) сводится к уравнению вида (30,6) внутри каждого из однород­ных тел, а на их границах должно выполняться условие непре­рывности тангенциальных компонент вектора (l/u)rotA. Кроме того, должны быть непрерывными касательные компоненты са­мого вектора А, так как их скачок означал бы наличие на гра­нице бесконечной индукции В.

Уравнения поля упрощаются для плоской задачи определе­ния магнитного поля в среде, не ограниченной и однородной в одном направлении (которое мы примем в качестве направления оси г), причем создающие поле токи тоже направлены везде вдоль оси z, а их плотность /_г = / есть функция только от л:, у. Сделаем естественное (подтверждающееся результатом) предполо­жение, что векторный потенциал такого поля тоже направлен вдоль оси г: А_г = А [х, у) (условие (30,4) удовлетворяется при этом автоматически), а магнитное поле соответственно везде па­раллельно плоскости ху. Обозначив посредством к единичный вектор вдоль оси z, имеем

rot А = rot А к = [grad Л - к],

rot С— rot А~) =

^•к

= -kdiv^

Поэтому уравнение (30,5) приводится к виду

,. grad А 4я . . . _.

divS-_ = — — j(x, у), (30,7)

т. е. мы действительно получаем одно уравнение для одной ска­лярной величины А (х, у). Для кусочно-однородной среды (30,7) сводится к уравнению

АЛ =-^н/(*, у) (30,8)

с граничным условием непрерывности Ли — ^ на поверхности раздела *).

Магнитное поле определяется совсем элементарно, если рас­пределение токов симметрично относительно оси г: \_г = j (г) (г — расстояние до оси .z). Очевидно, что в этом случае магнитные силовые линии являются окружностями r=const. Абсолютная же величина поля непосредственно определяется из формулы

$Hdl = ^jjdf, (30,9)

являющейся интегральной формулой уравнения (30,2). Именно,

^{Н(г)=^Р-, (30,10)}

где J (г)—полный ток, протекающий внутри окружности г = = const.

Сведение векторного уравнения (30,5) к одному скалярному уравнению возможно также и при аксиально-симметричном рас­пределении круговых токов, т. е. при распределении, которое в цилиндрических координатах г, <p, z имеет вид

/r = /z = 0, /ф = / (г, z).

Векторный потенциал ищем в виде Л_г = Л_г = 0, Л_ф = Л (г, г). При этом компоненты магнитной индукции В = rot А

*) Обратим внимание на то, что плоская задача о постоянном магнитном поле оказывается эквивалентной плоской задаче электростатики об определе­нии электрического поля, создаваемого сторонними зарядами, распределенны­ми в диэлектрической среде с плотностью р_ст (х, у). Последняя задача требует решения уравнения

div (е grad ф) = — 4яр_сх

(ф — потенциал поля), отличающегося от (30,7) лишь заменой A, j/c, р. соот­ветственно на ф, р_ст, 1/е; совпадают также граничные условия для Л идляф. Разница, однако, возникает при определении соответственно Е или В по ф или А. Векторы Е = — grad ф и В = rot А в каждой точке одинаковы по аб­солютной величине, но взаимно перпендикулярны по направлению.

и ф-компонента уравнения (30,2) дает

Уравнения магнитного поля токов могут быть решены в об­щем виде в важном случае, когда магнитными свойствами среды можно пренебречь, т. е. можно положить везде р, = 1. Для век­торного потенциала тогда во всем пространстве имеет место уравнение

ДА = j

без каких бы то ни было условий на границах раздела различ­ных сред (в том числе на границе проводника, по которому те­чет ток). Решение этого уравнения, обращающееся на бесконеч­ности в нуль, есть

= ^±dV, (30,12)

где R — расстояние от точки, в которой мы ищем А (точка наблю­дения), до элемента объема dV (см. II § 43). При применении операции rot к этому выражению следует помнить, что диффе­ренцирование )/R под знаком интеграла должно производиться по координатам точки наблюдения, от которых j не зависит, так что

^{rot ^= [grad — j =— ^-[Rj],}

где радиус-вектор R направлен из dV в точку наблюдения. Таким образом,

Если проводник, по которому течет ток, достаточно тонок (тонкий провод) и мы интересуемся лишь полем в окружающем его пространстве, то толщиной проводника можно пренебречь. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать такие, как говорят, линейные токи. Интегрирование по объему проводника заменяется в этом случае интегрированием по его контуру. Именно, формулы для линейных токов получаются из формул, относящихся к объемным токам, заменой в последних

idV^Jdl,

где J — полный ток, протекающий по проводнику. Так, из фор­мул (30,12—13) получим

^{A=4Sf. «=т^- (30,..)}

Вторая из этих формул выражает собой закон Био и Савара.

Такие простые формулы для магнитного поля линейных токов не связаны даже с требованием fi=l. Поскольку толщиной про­водника мы пренебрегаем, то никаких граничных условий на его поверхности писать не надо и магнитные свойства его вещества вообще несущественны (оно может даже быть ферромагнитным). Решение уравнения (30,6) для поля в окружающей проводник среде будет поэтому

A=4j£, Ъ=Ц^ (30,15)

для любого значения магнитной восприимчивости среды. Таким образом, наличие среды приводит лишь к изменению магнитной индукции в р, раз; напряженность же Н = В/р, вообще не изме­нится.

Задача об определении магнитного поля линейных токов мо­жет решаться и как задача теории потенциала. Поскольку объе­мом проводников мы пренебрегаем, то фактически речь идет об определении поля в пространстве, во всем объеме которого (за исключением только особых линий—линейных токов) токи от­сутствуют. Но в отсутствие токов постоянное магнитное поле обладает скалярным потенциалом, удовлетворяющим (в однород­ной среде) уравнению Лапласа. Между потенциалом магнитного поля и электрическим потенциалом имеется, однако, существен­ное различие. Потенциал электрического поля всегда является однозначной функцией. Это есть следствие того, что rotE = 0BO всем пространстве (в том числе и там, где имеются заряды), и потому изменение потенциала при обходе по любому замкнутому контуру (т. е. циркуляция Е по этому контуру) равно нулю. Циркуляция же магнитного поля по контуру, охватывающему собой линейный ток, отлична от нуля и равна 4лУ/с. Поэтому значение потенциала меняется на эту величину при всяком об­ходе вокруг линии тока, т. е. потенциал магнитного поля явля­ется многозначной функцией.

Если система токов сосредоточена в конечной области прост­ранства (а ц.= 1 как в проводниках, так и в среде), то вдали от нее векторный потенциал магнитного поля имеет вид

А = Ь»Ш, (30,16)

где

M = ^[r]]dV (30,17)

есть полный магнитный момент системы¹).

Для линейного тока это выражение принимает вид

^х) См. II § 44. В приведенном там выводе использовано в явном виде представление токов как результата движения отдельных заряженных частиц. Такой вывод обладает, конечно, полной общностью, но формулу (30,16) можно получить и чисто макроскопическим путем (см. задачу 4 к этому па­раграфу).

и может быть преобразовано в интеграл по поверхности, огра­ниченной контуром тока. Произведение df = [rdl]/2 равно по аб­солютной величине площади треугольного элемента поверхности,

построенного на векторах г и dl. Векторный же интеграл ^ df не зависит от того, по какой именно поверхности (натянутой на заданный контур) он берется. Таким образом, магнитный момент замкнутого линейного тока равен

(30,18)

В частности, для плоского замкнутого линейного тока магнитный момент равен просто JS/c, где 5—площадь ограниченной током части плоскости.

В заключение этого параграфа остановимся еще на вопросе о потоке энергии в проводнике. Диссипируемая в проводнике (в виде джоулева тепла) энергия черпается из энергии электро­магнитного поля. В стационарном случае уравнение непрерывно­сти, выражающее собой закон сохранения энергии, имеет вид

— divS = jE,

(30,19)

где S—плотность потока энергии. Последняя дается внутри про­водника выражением

(30,20)

формально совпадающим с выражением для вектора Пойнтинга для поля в пустоте. В этом легко убедиться прямой проверкой: вычисление divS с использованием уравнений rotE = 0 и (30,2) приводит к (30,19).

Независимо от этого вывода, формула (30,20) однозначно сле­дует из очевидного условия непрерывности нормальной компо­ненты S на поверхности тела, если при этом учитывать непре­рывность E_t и H_t и тот факт, что формула (30,20) справедлива в пустоте вне тела.

¹) В задачах 1—4 полагаем везде (х=1.

Задачи¹)

(при преобразованиях надо учесть, что А (1//?) = 0). Сравнивало В =— grad найдем, что скалярный потенциал

Стоящий здесь интеграл представляет собой, геометрически, телесный угол Q, под которым виден контур из точки наблюдения поля. Упомянутая в тексте многозначность потенциала проявляется в том, что, когда точка наблюдения описывает замкнутый путь, охватывающий провод, угол £1, достигнув значения 2я, меняет знак, становясь равным—2л.

2. Определить магнитное поле линейного кругового тока (радиуса о).

Решение. Выбираем начало цилиндрической системы координат г, ф, г в центре окружности, причем угол ф отсчитывается от плоскости, проходящей через ось г и точку наблюдения поля. Векторный потенциал имеет только компоненту A_V = A (г, г), и согласно формуле (30,14) пишем

. J г cos ф dl 2J Г

J г cos ф dl 2J С a cos ф йф

(a² + /-² + z² —2ar cos ф)^1/г

о

Вводя новую переменную Э согласно ф = я + 2Э, можно привести это выраже­ние к виду

An, = ■

где

& = - ^4аг

(a + /r + z² '

а К и Е — полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода:

я/2 я/2

dQ

k* sin² в dQ.

о

Для компонент индукции находим:

я „я- ^dA*-^{J 2г} Г к I ^a2 + ^r' + ^z'_E] в_ф = о, в_г —_1Г—_{г g} [_-к+_(а__г)._+г.я_|,

с /■ ]/'(а+г)² + г^г

г^^-²

Мы воспользовались здесь легко проверяемыми формулами дК Е К дЕ_Е — К

dk ~~k(l— №) k ' dk ~~~ k *

На оси (/- = 0)

_{Sr = 0}, _Вг=. 2*«V

c(a² + z²)³^ '

что можно получить и непосредственным элементарным расчетом.

3. Определить магнитное поле в цилиндрическом отверстии в цилиндриче­ском (бесконечно длинном) проводнике, вдоль которого течет ток, равномерно распределенный по его сечению (рис. 18).

Решение. Если бы отверстия не было, поле внутри цилиндра было бы равно

Н_х = — 2njy/c, Hy = 2njx/c (обозначения размеров и осей координат даны на рисунке).

Если бы по внутреннему цилиндру протекал ток с плотностью—/, он создавал бы в той же точке наблюдения поле

H_x = 2njy'/c, Ну = —2щх' /с.

Искомое поле в отверстии получается наложением этих двух полей. За­метив, что х—х' =~00' =h, у —у', найдем

Я* = 0,

2л jh

2hJ

т. е. однородное поле в направлении оси у.

4. Вывести формулу (30,16) для векторного потенциала поля вдали от токов из формулы (30,12).

Решение. Пишем R = R₀—г, где R₀ и г —радиус-векторы из начала координат, расположенного где-либо в области токов, до точки наблюдения н до элемента dV соответственно. Разлагая подынтегральное выражение по сте-

пеням г и учитывая, 4To^jdK = 0, получим A^%\x_khdV

(индекс 0 у R опускаем). Интегрируя по час­тям тождество

^ Х{Х_к div j dV = 0,

получим

^{J (/.•** + /**«■) W=0.}

Поэтому можно переписать А( в виде R Г

что совпадает с (30,16).

5. Определить магнитное поле, создаваемое линейным током в магнитно анизотропной среде (А. С. Виглцн, 1954).

Решение. В анизотропной среде, окружающей проводник, имеем урав нение

div В =

дх;

(1)

где |А,-£ — тензор магнитной проницаемости среды. Вместо того чтобы вводить векторный потенциал согласно B = rot А, введем другой вектор, С, определяемый равенством

dC_t

(2)

(^eiki — антисимметрический единичный тензор); выражением (2) уравнение (1) тоже удовлетворяется тождественно. На определенный таким образом вектор С можно еще наложить дополнительное условие:

divC^^ = 0. dx_t

получим

д*С; ₌4я/,-дх_к дх„ с

_4jt

Подставив (2) в уравнение rot Н = — j

V-kp

(при преобразовании использовано равенство

^еШ^е1тп = Sj/nSftn— fyfAm

и условие (3)). Полученное таким образом уравнение для С совпадает по форме с уравнением для потенциала электрического поля, создаваемого зарядами в анизотропной среде (задача 2 § 13). Его решение имеет вид

jdV

_Hi

R —ради <у, полу

_{(| ц| — определитель тензора щк, R —радиус-вектор между точкой наблюдения и dV). Переходя к линейному току, получим окончательно}

С= ^J - ^dl