§ 3. Методы решения электростатических задач

Общие методы решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях на тех или иных поверхностях изучаются в соответствующем разделе математической физики, и в нашу цель не входит полное их изложение. Мы ограничимся здесь лишь указанием некоторых более простых приемов и решением ряда типичных задач, имеющих самостоятельный интерес¹).

^]) Решение значительного числа более сложных задач можно найти в книгах: Смайпг В. Электростатика и электродинамика.—М.: ИЛ, 1954 (Smythe W. R. Static and dynamic electricity.—McGraw-Hill, N. Y., 1950); Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений.— М.: Изд. АН СССР, 1948.

Метод изображений. Определение поля, создаваемого точеч­ным зарядом е, расположенным вне проводящей среды, запол­няющей полупространство, является простейшим примером при­менения так называемого метода изображений. Идея этого метода состоит в подборе таких дополнительных фиктивных точечных зарядов, которые вместе с данными зарядами создавали бы поле, для которого поверхность заданного проводника совпадала бы с одной из эквипотенциальных поверхностей поля. В данном случае это достигается введением фиктивного заряда е' — — е,

расположенного в точке, представляющей собой зеркальное отра­жение точки е в граничной плоскости проводящей среды. Потен­циал поля заряда е и его «изображения» е' равен

_ф = е(1-1), (3,1)

где г и г' — расстояния точки наблюдения от зарядов е и е'. На граничной плоскости г = г' и потенциал имеет постоянное зна­чение ф = 0, так что необходимое граничное условие действи­тельно выполняется и (3,1) дает решение поставленной задачи. Отметим, что заряд е притягивается к проводнику с силой е²/(2а)² (сила изображения), а энергия взаимодействия равна — е²/4а.

1 <5ф 4я дп

3 >

2л г

Распределение на граничной плоскости поверхностных заря­дов, индуцированных точечным зарядом е, дается формулой

(3,2)

где а — расстояние от заряда до плоскости. Легко убедиться в-том, что полный заряд на этой плоскости равен

^{J adf= — е,}

как и должно быть.

Общий заряд, индуцированный посторонними зарядами на первоначально не заряженном изолированном проводнике, ра­зумеется, остается равным нулю. Поэтому, если в данном случае проводящая среда (в действительности — проводник больших раз­меров) изолирована, то надо представлять себе, что одновременно с зарядом —е индуцируется заряд +е, который, однако, будучи распределен по поверхности большого тела, имеет исчезающую плотность.

Далее, рассмотрим более сложную задачу о поле, создавае­мом точечным зарядом е, находящимся вблизи шарового провод­ника. Для решения этой задачи воспользуемся следующим ре­зультатом, который легко проверить непосредственными вычис­лениями. Потенциал поля, создаваемого двумя точечными зарядами е и —е',

е е'

^ г г'

обращается в нуль на сферической поверхности радиуса R, центр которой лежит на продолжении прямой, соединяющей точки е и е', на расстоянии I и Г от этих точек, причем /, Г, R удов­летворяют равенствам ///' = (е/е')², R² = ll'.

Предположим сначала, что шаровой проводник поддерживается при постоянном потенциале ф = 0 (шар заземлен). Тогда поле, создаваемое вне шара точечным зарядом е, находящимся на рас­стоянии / от центра шара (в точке А на рис. 1), будет совпа­

дать с полем, создаваемым системой двух зарядов—данным за­рядом е и фиктивным зарядом —е', помещенным внутри шара (точка А') на расстоянии /' от его центра, причем

l' = R*/l, e'=eR/l. (3,3)

Потенциал этого поля

<p = e/r—eR/lr' (3,4)

2(Г--силой

еЧЯ

(см. рис. 1). На поверхности шара индуцируется при этом отлич­ный от нуля полный заряд, равный —е'. Энергия взаимодейст­вия заряда с шаром равна

*Ц=-»т^т =(3,5)

-R²)'

2(1-1')

и заряд притягивается к шару с F-.

Если же проводящая сфера поддерживается при равном нулю полном заряде (изолированный незаряженный шар), то надо вве­сти еще один фиктивный заряд таким образом, чтобы полный индуцированный на поверхности шара заряд оказался равным нулю, причем не должно нарушаться постоянство потенциала на этой поверхности. Это достигается помещением заряда -\-е' в центр шара. Потенциал искомого поля определится тогда формулой

<P = f-F + £- <³'⁶>

41 = '

Энергия взаимодействия в этом слу­чае будет

2 V I l — l') ~ 21²(1*-

Наконец, если заряд е находится в сферической полости в проводящей среде (в точке А', рис. 1), то поле внутри полости совпадает с полем, которое создавалось бы зарядом е и его «изображением» в точке А вне сферы (независимо от того, за­землен проводник или изолирован):

eR

(3,8)

Метод инверсии. Существует простой метод, который в ряде случаев позволяет по известному решению одной электростати­ческой задачи находить решение другой задачи. Основанием этого метода является инвариантность уравнения Лапласа по отношению к определенному преобразованию переменных.

В сферических координатах уравнение Лапласа имеет вид

где посредством Дг> обозначена угловая часть оператора Лапласа. Легко убедиться в том, что это уравнение сохраняет свою форму, если вместо переменной г ввести новую переменную г' согласно

^{'=4 (3,9)}

(преобразование инверсии) и одновременно заменить неизвестную функцию ф согласно

ф = ^ф'. (ЗЛО)

Здесь R— некоторая постоянная с размерностью длины (радиус инверсии). Таким образом, если функция ф (г) удовлетворяет урав­нению Лапласа, то функция

^{ф'(г')=4ф(^г') (3,11)}

тоже есть решение этого уравнения.

Предположим, что нам известно решение задачи об электро­статическом поле, создаваемом некоторой системой проводников, которые находятся при одном и том же потенциале ф₀, и си­стемой точечных зарядов. Потенциал ф(г) обычно определяют так, чтобы он обращался в нуль на бесконечности. Здесь, однако, мы определим ф (г) так, чтобы на бесконечности эта функция стремилась к —ф₀; тогда на проводниках ф = 0.

Выясним теперь, какая электростатическая задача будет ре­шаться преобразованной функцией (3,11). Прежде всего, ме­няются фигуры всех протяженных проводников и их взаимное расположение. Граничное условие постоянства потенциала на поверхности проводников автоматически выполняется, так как при ф = 0 будет и ф' = 0. Далее, меняются расположение и ве­личины всех точечных зарядов. Заряд, находящийся в точке г₀, переходит в точку г„ = (R²/r%) г₀ и приобретает величину е', ко­торую можно определить следующим образом. При г—>г₀ по­тенциал ф (г) обращается в бесконечность по закону ф = е/|бг|, где бг = г—г„. С другой стороны, дифференцируя соотношение г = (R²/r^>l) г', найдем, что абсолютные значения малых разностей бг и бг' = г' — Го связаны друг с другом соотношением

(бг)²=-^₄(бг')².

о

Поэтому при г' —* Гр функция ф' стремится к бесконечности по закону

,_R е _ "'₀

^ф 'о 14 /?|6г'|' соответствующему заряду

Наконец, рассмотрим поведение функции ср'(г') вблизи начала координат. Точке г' = 0 соответствует г—*оо. Но при г —>оо функция ф(г) стремится к —ф₀. Поэтому при г' —* 0 функция ф' обращается в бесконечность по закону

ф'

Это значит, что в точке г' = 0 находится заряд е₀ = — #ф₀.

Укажем, как преобразуются при инверсии некоторые геомет­рические фигуры. Сферическая поверхность радиуса а с центром в точке г₀ дается уравнением

(r-r₀)' = a². Произведя инверсию, получим уравнение

*l_r'-r₀)² = a²,

которое после умножения на г'² и перегруппировки членов может

быть приведено к виду (г'—г^)² = а'², где

R²r₀ , aR*

■о— ₂ г • " — Т~2 2Т- (3,13)

а* —го |а² — г₀|

Таким образом, мы снова получаем сферу другого радиуса а' и с центром в точке г„. Если первоначальная сфера проходила через начало координат (a = r₀), то а' = оо; в этом случае сфера пре­образуется в плоскость, перпендикулярную к направлению г₀ и проходящую на расстоянии

^Г° ^а ~ a + r_a ~ 2а

от начала координат.

Метод конформного отображения. Поле, зависящее только от двух декартовых координат (х, у), называют плоским. Мощным сред­ством для решения плоских задач электростатики является теория функций комплексного переменного. Основания для применения этой теории заключаются в следующем.

Электростатическое поле в пустоте удовлетворяет двум урав­нениям: rotE = 0 и divE = 0. Первое из них позволяет ввести потенциал поля согласно Е = — grad ф. Второе же уравнение пока­зывает, что наряду с ф можно ввести также и «векторный потен­циал» поля А согласно E = rotA. В плоском случае вектор Е лежит в плоскости ху и зависит только от этих двух координат.

Соответственно, вектор А можно выбрать так, чтобы он был везде направлен перпендикулярно к плоскости ху. Тогда компо­ненты напряженности выражаются в виде производных от ср или А согласно

е_х=-?*.™, е |ф₌_|1. _(3;14)

^х дх ду ' у ду дх ■ ' '

Но такие соотношения между производными функций ср и А с математической точки зрения совпадают с известными условиями Коши — Римана, выражающими тот факт, что комплексное выра­жение

w = y — iA (3,15)

является. аналитической функцией комплексного аргумента z — x-{-iy. Это значит, что функция w(z) имеет в каждой точке определенную производную, не зависящую от направления, в ко­тором она берется. Так, дифференцируя в направлении оси х, найдем, что

dw <5ф . дА

dz ~ дх дх ¹

или

% = -E_x + iE_y. (3,16)

Функция w называется комплексным потенциалом. Силовые линии поля определяются уравнением

dx dy

ТГ~ ⁼ ~Ё~'

*-*х _L^Lj/

Выражая Е_х и Е_у через производные от А, перепишем это урав­нение в виде

^dx^+^dy^-^dA=⁰'

откуда А (х, у) = const. Таким образом, линии постоянных зна­чений мнимой части функции w(z) представляют собой силовые линии поля. Линии же постоянных значений ее вещественной части являются эквипотенциальными линиями. Взаимная ортого­нальность этих двух семейств линий обеспечивается уже исход­ными соотношениями (3,14), согласно которым

бф дА д<р дА q

дх дх * ду ду

Как вещественная, так и мнимая части аналитической функ­ции w(z) в равной степени удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому с тем же успехом можно принять \mw в качестве потен­циала поля. Соответственно силовые линии будут тогда даваться уравнениями Re w = const. Вместо (3,15) будем при этом иметь w =А +icp.

Поток напряженности электрического поля через какой-либо отрезок эквипотенциальной линии дается интегралом

где dl есть элемент эквипотенциальной линии, а п—направление нормали к ней. Согласно соотношениям (3,14) имеем д(р/дп = = —дА/dl, причем выбор знака предполагает, что если смотреть в направлении п, то положительное направление / — влево. Поэтому

§E_ndl = ^dl=A_t-A_lt

где А_г и А₁ — значения А на обоих концах отрезка. В частно­сти, поток электрического поля через замкнутый контур равен 4ле, где е—полный заряд, охватываемый этим контуром (отнесенный к единице длины проводников вдоль оси z). Поэтому

е = ^ДЛ, (3,17)

где ДЛ— изменение А при обходе замкнутой эквипотенциальной линии в направлении против часовой стрелки.

Простейшим примером комплексного потенциала является по­тенциал поля заряженной прямой нити (совпадающей с осью z). Напряженность этого поля дается формулами

Е_Г-=Ц-, £6 = 0,

где г, 8—полярные координаты в плоскости ху, а е— заряд еди­ницы длины нити. Соответствующий комплексный потенциал

ву = —2elnz = —2elnr—2te0. (3,18)

Если же заряженная нить проходит не через начало координат, а через точку (х₀, у₀), то комплексный потенциал

w= — 2e\n(z—z„), (3,19)

где z₀ = x₀ + iy₀.

С математической точки зрения функциональное соотношение w = w(z) осуществляет конформное отображение плоскости ком­плексного переменного г на плоскость комплексного перемен­ного w. Пусть С есть контур сечения проводника в плоскости ху, а ф₀ — потенциал этого проводника. Из всего сказанного выше ясно, что задача об определении поля, создаваемого этим провод­ником, сводится к нахождению такой функции w (z), которая отображала бы контур С в плоскости z на линию да=ф₀, парал­лельную оси ординат в плоскости да; тогда вещественная часть Re w даст потенциал рассматриваемого поля (если же функция w(z) отображает контур С на линию, параллельную оси абсцисс, то потенциал дается функцией Imw).

З адача о клине. Приведем здесь для справок формулы, опре- деляющие поле, создаваемое точечным зарядом е, расположенным в пространстве между двумя пересекающимися проводящими полуплоскостями. Пусть ось г цилиндрической системы коорди- нат г, 8, г совпадает с линией края угла, причем угол 6 отсчи- _ау тывается от одной из его сторон;

заряд е пусть находится в точке -у а, у, 0 (рис. 2). Угол раствора а

^межДУ плоскостями может быть как меньше, так и больше л; в ^Рис- ²- последнем случае мы имеем дело

с зарядом, расположенным вне проводящего клина. Потенциал поля дается формулой

sh (я£/а)

sh (nt,/a\

а V Чаг J

Т)

. я£ л (9 —v)

ch — — cos — —

а а ch — — cos —-—i—^ а а

]Ach g — ch г|

(3,20)

Ch T| =

2ar

л > 0;

на поверхности проводника, т. е. при 6 = 0, а, потенциал ф = 0 (Я. М. Macdonald, 1895)¹).

В частности, при а = 2л получается проводящая полуплос­кость в поле точечного заряда. В этом случае интеграл (3,20) вычисляется в конечном виде и дает

9—v\ / ^е + Г

ф |а= 2л-

1

-pr-arccos

|— ^т-arccos

■

(3,21)

R = [а² + г² + 2² — 2ar cos (у—0)]¹/. #' = [а² + г² + z² — 2аг cos (у + 0)]¹/.

В пределе, когда точка наблюдения поля стремится к точке на­хождения заряда е, потенциал (3,21) принимает вид

sin у

Ф = -^- + Ф .

Ф

2ла

(3,22)

Первый член есть чисто кулоновский потенциал, обращающийся в бесконечность при R —* 0, а ф' — изменение потенциала в точке нахождения заряда под влиянием проводника. Энергия

^:) Вывод этой формулы можно найти в книгах: Батыгин В. В., Топты­гин И. Н. Сборник задач по электродинамике.— М.: «Наука», 1970, задачи 205, 206; Macdonaid Н. М. Electromagnetism.—Bell, London, 1934,

взаимодействия заряда с проводящей полуплоскостью есть Задачи

1. Определить поле вокруг проводящего незаряженного щара (радиуса R), находящегося во внешнем однородном электрическом поле

Решение. Пишем потенциал в виде ф = ф₀ + фъ где ф₀ = —(gr — потен­циал внешнего поля, а ц>₁ — искомое изменение потенциала, вызываемое шаром. Ввиду симметрии шара функция ф_х может зависеть лишь от одного постоян­ного вектора ($•. Единственное такое решение уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, есть

1 . С?г

ф! = —const-(gv ~=^consi--y3-

(начало координат выбираем в центре шара). На поверхности шара ф должно быть постоянным; отсюда находим const = R³, так что

Ф = — (Sr cos 6^1—

3© „ = -^cos 6; --R 4п

(6 —угол между векторами («• и г). Распределение зарядов по поверхности шара дается формулой

1_ 5ф

° 4я дг

полный заряд е = 0.

Дипольный момент шара проще всего найти путем сравнения ф_х с потен­циалом ^rjr³ поля электрического диполя; найдем

<P = R³<g.

2. То же для бесконечного цилиндра в поперечном однородном поле.

Решение. Вводим полярные координаты в плоскости, перпендикуляр­ной к оси цилиндра. Решение двумерного уравнения Лапласа, зависящее только от одного постоянного вектора, есть

ф^сопвЬ^У \nr= const • ^tJ-. Складывая с ф₀= — г(5- и положив const = ^?³, получим

ф=—grcose •

Поверхностная плотность зарядов

@ А

а=-^— cos о.

Дипольный момент S* единицы длины цилиндра можно найти путем срав­нения ф с потенциалом двумерного дипольного поля. Последний имеет вид

так что <p = (gR²/2.

3. Определить поле вблизи клиновидного края на проводнике. Решение. Выбираем полярные координаты г, 0 в плоскости, перпен­дикулярной к краю клина, и с началом в вершине образуемого им угла 8„ (рис. 3). Угол 6 пусть отсчитывается от одной из сторон клина; области вне проводника соответствуют значения 0<6<2л— 6₀. Вблизи края угла потен­циал можно разложить по степеням г, причем нас интересует первый (после постоянного) член этого разложения, содержащий наиболее низкую степень г.

Решения двумерного уравнения Лапласа, пропорцио­нальные г^п, суть г" cos лб и rⁿ sin пв. Решение с наи­меньшим л, удовлетворяющее условию <p — const при 6=0 и 0 = 2л— 8₀ (на поверхности проводника), есть

(p=-const-r™ sin лб, п — п/(2н — 0,,).

Напряженность поля, соответственно, зависит от г как [I г"'¹. При 0„ < л (л < 1), следовательно, напряжен- ность обращается вблизи края угла в бесконечность. Рис. 3. в частности, для очень тонкого клина (6₀<g;l, пх¹/₂)

Е растет при уменьшении г как г~'^². Вблизи же края клиновидной вогнутости на поверхности проводника (0₀ >я, п > 1) поле стре­мится к нулю.

Значение const может быть определено только из решения задачи для всего поля в целом. Так, для очень тонкого клипа в поле точечного заряда е пре­дельный переход к малым г в (3,21) подтверждает закон

Ф = const - Y г sin -5-,

4е У'а

причем

const -

■ V

n(a² + z²)^Sm 2 •

Слова «вблизи клиновидного края» означают в этом случае условие г<^.а, при выполнении которого можно пренебречь членом д²<р/дг² в уравнении Лапласа.

4. Определить поле вблизи конца тонкого конического острия на поверх­ности проводника.

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в вершине и с полярной осью вдоль оси конического острия. Угол раствора конуса пусть будет 2в₀ <g; 1, так что области вне проводника соответствуют значения поляр­ного угла 6₀<6<л. Аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче, ищем решение (для переменной части потенциала), симметричное относительно оси конуса, в виде

Ф = '^л/(в) (1)

с наименьшим возможным л. Уравнение Лапласа

дг

sin 0 Л)

sin I

sin 0 d0

после подстановки этого выражения дает 1 d f . „dj

_TQ)-Vn(n­

l)/ = 0.

(2)

Условие постоянства пот?нциала на поверхности острия означает, что должно быть /(6„) = 0.

При малом 6₀ ищем решение, сделав предположение, что п<^1, а /(6) имеет вид / = const [1 -(-гр (в)], где ч|)<€1 (при 0₀—^0, т. е. для бесконечно тонкого острия, естественно ожидать, что ф стремится к постоянной почти во всей области вокруг острия). Для i|) получаем уравнение

1 d I . dip \ . _а sm6-J- I ==— / sin 0 dQ \ dQ

Решение, в котором ij) не имеет особенностей в области вне острия (в частно­сти, при 6 = л), есть

а

ijj (6) =2n In sin -jj-.

При 9~9₀<^1 функция 1|з (6) перестает быть малой. Тем не менее полу­ченное выражение остается применимым, так как в этой области в силу мало­сти 6 можно вообще пренебречь вторым членом уравнения (2). Для определе­ния постоянной п в первом приближении надо потребовать обращения в нуль найденной выше функции /=1+т|) при 6=6„. Таким образом, найдем¹)

_ 1

^п~ 2ine₀'

Напряженность поля неограниченно возрастает при приближении к концу острня как г^-*^1-"', т. е. в основном как 1/г.

5. То же для тонкого конического углубления на поверхности проводника.

Решение. Области вне проводника теперь соответствуют значения 0<6<6₀. Как н в предыдущей задаче, ищем <р в виде (1), но теперь будет n^> 1. Поскольку по всей области поля теперь 6<^ 1, то уравнение (2) можно написать в виде

Это—уравнение Бесселя, и его решение, не имеющее особенностей в области поля, есть J₀ (пб). Значение п определяется как наименьший корень уравне­ния У₀(п6₀)=0, откуда

п = 2,4/6₀.

6. Определить энергию притяжения электрического диполя к плоской поверхности проводника.

Решение. Выбираем ось х перпгндикулярной к поверхности проводника и проходящей через точку нахождения диполя; вектор дипольного момента <р пусть лежит в плоскости ху. «Изображение» диполя находится в точке —х и имеет дипольный момент fp_x = fp_x, 5*у =—5V Искомая энергия притяже­ния вычисляется как энергия взаимодействия диполя с его «изображением» и равна

«K = -JL(25»2+S>J).