Глава IV

ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§ 29. Постоянное магнитное поле

Постоянное магнитное поле в материальных средах описыва­ется двумя уравнениями Максвелла, которые получаются путем усреднения микроскопических уравнений

divh = 0, roth=~+^-pv. (29,1)

Среднюю напряженность магнитного поля принято называть магнитной индукцией и обозначать посредством

iT = B. (29,2)

Поэтому результат усреднения первого из уравнений (29,1) на­пишется как

divB=0. (29,3)

Во втором же уравнении производная по времени при усредне­нии исчезает, поскольку среднее поле предполагается постоян­ным, так что имеем

rotB = ^p~v. (29,4)

Среднее значение микроскопической плотности тока, вообще говоря, отлично от нуля как в проводниках, так и в диэлект- риках. Разница между этими двумя категориями тел заключа- ется лишь в том, что в диэлектриках всегда

Jpvdf=0, (29,5)

где интеграл берется по полной площади любого поперечного сечения тела; в проводниках же этот интеграл может быть от­личным от нуля. Предположим сначала, что в теле (если оно является проводником) отсутствует полный ток, т. е. справед­ливо соотношение (29,5).

Равенство нулю интеграла (29,5) по любому сечению тела означает, что вектор pv может быть написан в виде ротора не­которого другого вектора, который принято обозначать как сМ:

pv =crotM,

(29,6)

причем величина М отлична от нуля только внутри тела (ср. аналогичные рассуждения в § 6). Действительно, интегрируя по поверхности, ограниченной контуром, охватывающим тело и проходящим везде вне его, получим

^{J pvdf =с J rotMdf = c§f\d\ =0.}

Вектор М называют намагниченностью тела. Вводя его в урав­нение (29,4), получим

rotH=0, (29,7)

где вектор Н связан с магнитной индукцией В соотношением

В = Н + 4лМ, (29,8)

аналогичным соотношению между электрической индукцией D и напряженностью Е. Хотя вектор Н, по аналогии с Е, называют обычно напряженностью магнитного поля, следует помнить,,что в действительности истинное среднее значение напряженности есть В, а не Н.

Для выяснения физического смысла величины М рассмотрим полный магнитный момент, создаваемый всеми движущимися внутри тела заряженными частицами. По определению магнит­ного момента (см. II § 44), это есть интеграл¹)

^j[r-pv] dV =\^[rxotf\]dV.

Поскольку вне тела pv = 0, то интеграл можно брать по лю­бому объему, выходящему за пределы тела. Преобразуем инте­грал следующим образом:

^{\ [г [vM]] dV = § [г [di М]] — J [[М v ] г] dV.}

Интеграл по поверхности, проходящей вне тела, обращается в нуль. Во втором же члене имеем

[[My] г] = — М div г+ М = — 2М.

Таким образом, получаем в результате

^ j[r-p~v]dV = JMdV. (29,9)

^г) Для ясности подчеркнем, что в этой формуле г — бегущая координата (переменная интегрирования), а не координата отдельной микроскопической частицы; поэтому она не входит под знак усреднения.

²) Лишь после установления этого соответствия величина М становится полностью определенной. Соотношения же (29,6) внутри и М = 0 вне тела сами по себе еще не определяют эту величину однозначным образом: в области внутри тела можно было бы прибавить к М любой вектор вида grad/, не на­рушив равенства (29,6) (ср. аналогичное замечание по поводу электрической поляризации на стр. 57).

Мы видим, что вектор намагниченности представляет собой маг­нитный момент единицы объема тела²).

К уравнениям (29,3) и (29,7) должно быть присоединено со­отношение, связывающее между собой величины Н и В; лишь после этого система уравнений станет полной. В неферромагнит­ных телах, в не слишком сильных магнитных полях, В и Н связаны друг с другом линейным соотношением. У изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности

В =р,Н. (29,10)

Коэффициент р, называется магнитной проницаемостью, а коэф­фициент пропорциональности

4я

(29,11)

в соотношении М=%Н—магнитной восприимчивостью.

В противоположность диэлектрической проницаемости е, кото­рая у всех тел превышает 1, магнитная проницаемость может быть как больше, так и меньше единицы, Можно только утвер­ждать, что всегда р, > 0 (о причине этого отличия между р. и е см. § 32; доказательство неравенства р, > 0 будет дано в § 31). Соответственно магнитная восприимчивость % может быть как положительной, так и отрицательной.

Другое отличие—количественное—состоит в том, что магнит­ная восприимчивость огромного большинства тел очень мала по сравнению с их диэлектрической восприимчивостью. Это отли­чие связано с тем, что намагничение вещества (не ферромагнит­ного) является релятивистским эффектом второго порядка по v/c (v—электронные скорости в атомах)¹).

В анизотропных телах, кристаллах, простая пропорциональ­ность (29,10) заменяется линейными соотношениями

В, = ъ_кН_к. (29,12)

Тензор магнитной проницаемости \i_ik симметричен. Это следует из термодинамических соотношений, которые будут выведены в § 31, точно так же, как в § 13 была доказана симметричность тензора e_ik.

Из уравнений divB = 0, rot Н=0 следует (ср. § 6), что на границе двух различных сред должны выполняться условия

В_1п = В_гп, H_lt=H_2t. (29,13)

¹) Один раз отношение v/c входит вместе с Н в гамильтониан, описываю­щий взаимодействие тела с магнитным полем, второй раз оно входит через элементарные атомные или молекулярные магнитные моменты,

Эта система уравнений и граничных условий к ним формально совпадает с системой уравнений, определяющих электростати­ческое поле в диэлектриках в отсутствие свободных зарядов, отличаясь от них лищь заменой Е и D соответственно на Н и В. Ввиду уравнения rotH = 0 можно искать Н в виде Н = — gradip, и для потенциала г|з получаются те же уравнения, что и для электростатического потенциала.

Решения ряда задач, рассмотренных в гл. II для электроста­тического поля, непосредственно переносятся, таким образом, на постоянное магнитное поле. В частности, полученные в § 8 фор­мулы для диэлектрического эллипсоида в однородном электри­ческом поле полностью справедливы (с соответствующим измене­нием обозначений) и для магнитного эллипсоида в однородном магнитном поле. Так, напряженность Н^(<,> и индукция В⁽'' маг­нитного поля внутри эллипсоида связаны с напряженностью £ внешнего поля соотношением

Н?+п_1к{Вр-Н^) = &, (29,14)

где n_ik—тензор коэффициентов размагничивания. Напомним, что это соотношение справедливо при любой связи между В и Н.

Тангенциальные компоненты магнитной индукции, в противо­положность ее нормальной компоненте, испытывают екачок на поверхности раздела двух сред. Величину этого скачка можно связать с плотностью токов, протекающих по поверхности. Для этого проинтегрируем обе стороны уравнения (29,4) по малому отрезку А/, пересекающему поверхность раздела в направлении

нормали. Длину А/ устремляем затем к нулю; интеграл pv dl

может стремиться, однако, при этом к конечной величине. Опре­деленную таким образом величину

e = \p^dl (29,15)

можно назвать поверхностной плотностью тока; она определяет заряд, протекающий в единицу времени через единицу длины линии, проведенной на поверхности. Выберем направление g в данной точке поверхности в качестве оси у, а направление нор­мали— в качестве оси х, направленной от среды 1 к среде 2. Тогда интегрирование уравнения (29,4) дает

J V dz дх J ^йХ с ^ёУ с ^g-

Ввиду непрерывности B_x производная dB_x/dz ограничена, и по­тому интеграл от нее стремится к нулю при стремлении к нулю длины отрезка А/. Интеграл же от dBJdx дает разность значе­ний В_г на обеих сторонах поверхности. Таким образом,

4л

Bzz — = f §■

Это равенство можно написать в векторном виде как

⁴-f g = [n, B₂-BJ = 4.-t[n, М₂—М^, (29,16)

где п—единичный вектор нормали, направленной внутрь среды 2; при последнем преобразовании учтена непрерывность тангенци­альной компоненты Н.