
- •Глава I
- •§ 1. Электростатическое поле проводников
- •§ 2. Энергия электростатического поля проводников
- •§ 3. Методы решения электростатических задач
- •2 Л. Д. Ландау, е. М. Лифшиц
- •§ 4. Проводящий эллипсоид
- •§ 5. Силы, действующие на проводник
- •Глава II
- •§ 6. Электростатическое поле в диэлектриках
- •§ 7. Диэлектрическая проницаемость
- •§ 8. Диэлектрический эллипсоид
- •§ 9. Диэлектрическая проницаемость смеси
- •§ 10. Термодинамические соотношения для диэлектриков в электрическом поле
- •§ 11. Полная свободная энергия диэлектрического тела
- •§12. Электрострикция изотропных диэлектриков
- •§ 13. Диэлектрические свойства кристаллов
- •§ 14. Положительность диэлектрической восприимчивости
- •§ 15. Электрические силы в жидком диэлектрике
- •§ 16. Электрические силы в твердых телах
- •§17. Пьезоэлектрики
- •§ 18. Термодинамические неравенства
- •§ 19. Сегнетоэлектрики
- •§ 20. Несобственные сегнетоэлектрики
- •Глава III
- •§ 21. Плотность тока и проводимость
- •§ 22. Эффект Холла
- •§ 23. Контактная разность потенциалов
- •§ 24. Гальванический элемент
- •§ 25. Электрокапиллярность
- •§ 26. Термоэлектрические явления
- •§ 27. Термогальваномагнитные явления
- •§ 28. Диффузионно-электрические явления
- •Глава IV
- •§ 29. Постоянное магнитное поле
- •§ 30. Магнитное поле постоянных токов
- •§ 31. Термодинамические соотношения в магнитном поле
- •§ 32. Полная свободная энергия магнетика
- •§ 33. Энергия системы токов
- •§ 34. Самоиндукция линейных проводников
- •§ 35. Силы в магнитном поле
- •§ 36. Гиромагнитные явления
- •Глава V
- •§ 37. Магнитная симметрия кристаллов
- •§ 38. Магнитные классы и пространственные группы
- •§ 39. Ферромагнетик вблизи точки Кюри
- •§ 40. Энергия магнитной анизотропии
- •§ 41. Кривая намагничения ферромагнетиков
- •§ 42. Магнитострикция ферромагнетиков
- •§ 43. Поверхностное натяжение доменной стенки
- •§ 44. Доменная структура ферромагнетиков
- •§ 45. Однодоменные частицы
- •§ 46. Ориентационные переходы
- •§ 47. Флуктуации в ферромагнетике
- •§ 48. Антиферромагнетик вблизи точки Кюри
- •§ 49. Бикритическая точка антиферромагнетика
- •§ 50. Слабый ферромагнетизм
- •§ 51. Пьезомагнетизм и магнитоэлектрический эффект
- •§ 52. Геликоидальная магнитная структура
- •Глава VI
- •§ 53. Магнитные свойства сверхпроводников
- •§ 54. Сверхпроводящий ток
- •§ 55. Критическое поле
- •2) Мы приводим здесь вычисления с большей точностью, чем это обычно требуется, имея в виду выявить более ясно взаимоотношение между различными термодинамическими величинами.
- •§ 56. Промежуточное состояние
- •§ 57. Структура промежуточного состояния
- •Глава VII
- •§ 58. Уравнения квазистационарного поля
- •§ 59. Глубина проникновения магнитного поля в проводник
- •VaRe{a6*}.
- •§ 60. Скин-эффект
- •§ 61. Комплексное сопротивление
- •§ 62. Емкость в цепи квазистационарного тока
- •§ 63. Движение проводника в магнитном поле
- •0 Из этой формулы видно, что дополнительное тепло, выделяющееся (в течение времени 60 в проводнике при его движении в магнитном поле, есть
- •§ 64. Возбуждение тока ускорением
- •Глава VIII
- •§ 65. Уравнения движения жидкости в магнитном поле
- •§65] Уравнения движения жидкости в магнитном поле 315
- •§66] Диссипативные процессы в магнитной гидродинамике 317
- •§ 66. Диссипативные процессы в магнитной гидродинамике
- •§ 67. Магнитогидродинамическое течение между параллельными плоскостями
- •§ 68. Равновесные конфигурации
- •§ 69. Магнитогидродинамические волны
- •VX&0, Vytt—hjV4пр ,
- •§ 70. Условия на разрывах
- •§ 71. Тангенциальные и вращательные разрывы
- •§ 72. Ударные волны
- •§ 73. Условие эволюционности ударных волн
- •§ 74. Турбулентное динамо
- •Глава IX
- •§ 75. Уравнения поля в диэлектриках в отсутствие дисперсии
- •§ 76. Электродинамика движущихся диэлектриков
- •§ 77. Дисперсия диэлектрической проницаемости
- •§ 78. Диэлектрическая проницаемость при очень больших частотах
- •§ 79. Дисперсия магнитной проницаемости
- •§ 80. Энергия поля в диспергирующих средах
- •§ 81. Тензор напряжений в диспергирующих средах
- •§ 82. Аналитические свойства функции е(со)
- •§ 83. Плоская монохроматическая волна
- •§ 84. Прозрачные среды
- •Глава X
- •§ 85. Геометрическая оптика
- •§ 86. Отражение и преломление волн
- •§ 87. Поверхностный импеданс металлов
- •§ 88. Распространение волн в неоднородной среде
- •§ 89. Принцип взаимности
- •§ 90. Электромагнитные колебания в полых резонаторах
- •§ 91. Распространение электромагнитных волн в волноводах
- •§ 92. Рассеяние электромагнитных волн на малых частицах
- •§ 93. Поглощение электромагнитных волн на малых частицах
- •§ 94. Дифракция на клине
- •§ 95. Дифракция на плоском экране
- •Глава XI
- •§ 96. Диэлектрическая проницаемость кристаллов
- •§ 97. Плоская волна в анизотропной среде
- •§ 98. Оптические свойства одноосных кристаллов
- •§ 99. Двухосные кристаллы
- •§ 100. Двойное преломление в электрическом поле
- •§ 101. Магнитооптические эффекты
- •§ 102. Динамооптические явления
- •Pfffi р 1
- •Глава XII
- •§ 103. Пространственная дисперсия
- •§ 104. Естественная оптическая активность
- •§ 105. Пространственная дисперсия в оптически неактивных средах
- •§ 106. Пространственная дисперсия вблизи линии поглощения
- •Глава XIII
- •§ 107. Преобразование частот в нелинейных средах
- •§ 108. Нелинейная проницаемость
- •§ 109. Самофокусировка
- •§111. Сильные электромагнитные волны
- •§112. Вынужденное комбинационное рассеяние
- •Глава XIV
- •§ 113. Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Нерелятивистский случай
- •§ 114. Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Релятивистский случай
- •§ 115. Излучение Черенкова
- •§ 116. Переходное излучение
- •Глава XV
- •§ 117. Общая теория рассеяния в изотропных средах
- •§ 118. Принцип детального равновесия при рассеянии
- •§ 119. Рассеяние с малым изменением частоты
- •§ 120. Рэлеевское рассеяние в газах и жидкостях
- •§ 121. Критическая опалесценция
- •§ 122. Рассеяние в жидких кристаллах
- •§ 123. Рассеяние в аморфных твердых телах
- •§123] Рассеяние в аморфных твердых телах 595
- •§ 124. Общая теория дифракции рентгеновых лучей
- •§ 125. Интегральная интенсивность
- •§ 126] Диффузное тепловое рассеяние рентгеновых лучей
- •§ 126. Диффузное тепловое рассеяние рентгеновых лучей
- •§ 127. Температурная зависимость сечения дифракции
§ 18. Термодинамические неравенства
По формулам § 10 полная свободная энергия представляется в виде интеграла
F=$F(7, р, D)dV, (18,1)
взятого по всему пространству. Будем рассматривать входящую в подынтегральное выражение функцию D (г) как удовлетворяющую только уравнению
divD = 0 (18,2)
внутри диэлектрика и условию
<f)Ddf = 4ne (18,3)
на поверхности проводника, несущего заданный заряд; этими равенствами устанавливается связь поля с его источниками. В остальном же функцию D (г) считаем произвольной, в частности, не требуем заранее, чтобы она удовлетворяла второму уравнению
поля rot Е = 0 (где Е = 4л dF/dD) и граничному условию cp = const на поверхности проводников. Покажем, что эти недостающие уравнения могут тогда быть получены из условия минимальности интеграла (18,1) по отношению к изменениям функции D(r), удовлетворяющим уравнениям (18,2) и (18,3). Подчеркнем, что возможность такого вывода a priori не очевидна, так как конкурирующие при определении минимума интеграла (18,1) распределения поля не соответствуют физически возможным состояниям (поскольку для них не удовлетворяются все уравнения поля); в термодинамическом же условии минимальности свободной энергии сравниваются друг с другом лишь различные физически возможные состояния.
Задача о нахождении минимума интеграла (18,1) при дополнительных условиях (18,2) и (18,3) решается методом множителей Лагранжа. Следуя этому методу, умножим вариацию условия (18,2) на некоторую, пока неопределенную функцию координат (обозначим ее посредством —ср/4я), а вариацию условия (18,3) — на неопределенный постоянный множитель (обозначим его как Ф„/4я), после чего приравниваем нулю сумму вариаций:
J 8F dV—~ \ Ф div 6D dV + ^ § 6D di = 0.
В первом члене пишемх)
ЬР = (~\ бЭ^ЕбЭ,
V 3D /т, р 4л
а второй преобразуем по частям:
J фdiv6Ddl/=<£ф6Ddi — $ 6Dgradфdl/. В результате получаем
J (E+gradq>)6Ddy + ^ (Фо — q>)6Ddf = 0.
Отсюда заключаем, что во всем объеме должно быть Е = — grad ф (и потому rotE = 0), а на поверхности проводника ф = ф0 = const. Это—правильные уравнения для напряженности поля, причем лагранжев множитель ф оказывается его потенциалом.
Аналогичным образом можно показать, что уравнения для электрической индукции получаются из условия максимальности
х) Свободная энергия имеет минимум при заданной температуре. Варьиво-вание должно производиться по двум независимым величинам: D и р. Нас интересует здесь лишь результат варьирования по D. Варьирование же интеграла (18,1) по плотности (при дополнительном условии постоянства полной массы тела) дает одно из обычных условий теплового равновесия — постоянство химического потенциала £.
интеграла
#= $F(7\ р, E)dV,
в котором варьируется функция Е (г) при дополнительных условиях, что Е = — grad ф, а ср = const на поверхности проводниках). Действительно, имеем
бг = j бЕ dV=-L £ dv бф dV=-L § бФо di -
— ~[b(fdivDdV = Q.
Первый интеграл равен нулю, поскольку бф = 0 на поверхности, а из второго находим, ввиду произвольности бф в объеме, искомое уравнение div D = 0.
Если тело не находится во внешнем электрическом поле (в частности, нет заряженных проводников), то может оказаться возможным формулировать условие термодинамического равновесия как условие абсолютного (безусловного) минимума полной свободной энергии (18,1). Это условие сводится к условию минимальности плотности свободной энергии F как функции независимой переменной d:
г)
То обстоятельство, что термодинамический
потенциал JF
имеет именно максимум по отношению к
переменной Е (или D),
а не минимум как §~, имеет общий характер
и объясняется следующими рассуждениями.
Пусть равновесное значение некоторой
переменной х
(пусть
это будет х=0)
определяется
условием термодинамического
равновесия. Тогда свободная энергия
имеет при заданных Т
и
V
минимум
при х=--0.
Другими
словами, в точке х
=
0
имеем
X
=
(d/f/dx)v,
т
=
0,
а
вблизи этой точки
Х
=
ах,
f~^JF<)H--|r*2>
« > 0.
Если
теперь ввести термодинамический
потенциал f
=
§~—хХ,
то
§"
=
(¥
о
2~х"~¥
о
~2а^'
т.
е. JF
имеет в равновесии максимум по х
или
X.
По
отношению же к каким-либо другим
переменным у,
не
зависящим от х,
минимум
имеют как §~,
так
и JF-
2)
Здесь имеются в виду тела, в которых
может быть D
ф
0
при
Е = 0 (см. следующий параграф). В противном
случае мы имели бы просто тривиальный
результат Е = 0,
D
= 0
во всем пространстве.
т. е. напряженность поля должна быть равна нулю во всем пространстве. Если при этом может быть указано распределение индукции, удовлетворяющее условию divD = 0, то тем самым найденное состояние будет соответствовать термодинамическому равновесию2).
Приравнивая нулю первую- вариацию свободной энергии, мы находим только необходимые, но не достаточные условия ее минимальности. Выяснение же достаточных условий требует исследования второй вариации. Эти условия имеют вид определенных неравенств (так называемые термодинамические неравенства) и являются, как известно, условиями, обеспечивающими устойчивость состояния тела (см. V § 21).
При D = eE все соотношения очень упрощаются и интересующее нас термодинамическое неравенство (связанное с диэлектрическими свойствами тела) становится очевидным. Полная свободная энергия есть
Ясно, что она может иметь минимум только, если е > 0; в противном случае можно было бы неограниченно уменьшать интеграл, давая индукции D сколь угодно большие значения. Таким образом, в этом случае мы по существу не узнаем ничего нового, так как мы уже знаем, что диэлектрическая проницаемость должна быть в действительности не только положительной, но и больше единицы (см. § 14).
В общем же случае произвольной связи между D и Е необходимо рассмотреть вторую вариацию интеграла (18,1), причем варьировать надо одновременно D и р (оставляя постоянной лишь температуру). В изотропном теле F (Т, р, D) зависит только от абсолютной величины вектора D, варьируются же три его компоненты независимо. Выберем направление неварьированного вектора D в качестве оси г. Тогда изменение абсолютной величины вектора D выразится через изменения его компонент, с точностью до членов второго порядка, посредством
6D = 6D2 + ±[(6Dxy + (&Dyn
Первая и вторая вариации интеграла (18,1) вместе содержатся в выражении
1 {is 6D+f 6р +15 б°2+шр*D ьр+Щ e*'}dV-
Подставив сюда 6D и собрав члены второго порядка, найдем вторую вариацию:
1ш§;т + Ь01)аУ +
+ 1{тЖ**°'' + aSop 6D* §Р + i% бР2} dV- (18-4)
Оба написанных здесь члена независимы друг от друга. Пер-
1 dF
вый из них положителен, если -jj-gjj > 0. Ho dF/dD = Е/4л, так что производная dF/dD положительна или отрицательна, смотря по тому, направлен ли вектор D по или против вектора Е. Таким образом, векторы D и Е должны быть одинаково направлены.
Условия положительности второго члена в (18,4) заключены в неравенствах
д9
d2F d2F I d2F
5г>0- (18,5)
>0. (18,6)
dp2 OD2 \dpdP Поскольку dF/dp = £, dFjdD = Е/4я, то первое из них дает
(1).,г>°' <18'7>
а второе можно переписать в виде якобиана:
OF OF
д ' дР ' dp J 1 д (Е, g) д(Р, р) Ыд(Р,р) ^
Переходя от переменных D, р к переменным D, Z,, имеем
д(ЕЛ) ^д(Е^) д(Р,1) (дЕ\ (оХ\ п. д(Р,р) д(Р,£) д(Р,р) \dPji\dpjD- и'
ввиду (18,7) это неравенство равносильно условию
дЕ
dDh,T>°- <18'8>
Таким образом, мы нашли искомые термодинамические неравенства. В отсутствие поля неравенство (18,7) переходит в обычное условие положительности изотермической сжимаемости: (дР/др)т > >01). Неравенство же (18,8) дает е > 0, так как при Е —*- 0 индукция D —»- гЕ.
Из двух неравенств (18,5), (18,6) второе является более сильным: оно может нарушаться раньше, чем нарушится первое, между тем как обратное невозможно. Равенство
d2F d2F f d2F >2_ 1 d(E,l) n dp2 дР2 [dpdPj ~ 4л д(Р, p) ~
x) Напомним, что в отсутствие поля £ есть термодинамический потенциал единицы массы вещества и согласно обычным термодинамическим соотношениям его дифференциал
dt, = — dP- — dT, ' Р Р
так что (д£,/др)т= (дР/др)т/р. В изложенном выводе остается в стороне второе из обычных термодинамических неравенств — условие положительности теплоемкости.