§17. Пьезоэлектрики

^г) Совпадение предела этого выражения при е—>м с результатом задачи 3 § 5 для проводящего шара случайно (в действительности даже знак этих сил различен). Физическая неэквивалентность обоих случаев ясна из того, что в щели между двумя проводящими полушариями (находящимися при одинако­вом потенциале) нет поля, а в данной задаче — есть.

²) Изменение объема определяется в задаче 1 § 12.

Внутренние напряжения, появляющиеся в изотропном диэлект­рике в электрическом поле, представляют собой эффект, квадра­тичный по полю. Такой же эффект имеет место и в кристаллах, относящихся к ряду кристаллографических классов. Но при

определенных типах симметрии электрострикционные свойства кри­сталлов имеют существенно иной характер. Внутренние напря­жения, возникающие в электрическом поле, в этих телах (пьезо-электриках) пропорциональны первой степени поля. Соответ­ственно имеет место и обратный эффект — деформирование пьезоэлектрика сопровождается появлением в нем поля, пропор­ционального величине деформации.

Интересуясь в пьезоэлектрике лишь основным, линейным эф­фектом, мы можем пренебречь в общей формуле (16,5) квадра­тичными по полю членами. Тогда

Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться термодинами­ческими величинами, отнесенными к количеству вещества, заклю­ченному в единице объема недеформированного тела (см. приме­чание на стр. 98). Понимая F в этом смысле, будем иметь просто

Соответственно термодинамическое соотношение для дифферен­циала dF будет

dF = -SdT + o_ikdu_lk~DdE. (17,2)

По поводу последнего члена надо сделать следующее замечание: в таком виде этот член (перенесенный сюда из (10,9)) относится, строго говоря, к единице объема деформированного тела. Не учитывая этого, мы допускаем ошибку, которая, однако, в дан­ном случае (для пьезоэлектрика) является величиной более вы­сокого порядка малости, чем остальные члены в (17,2).

В (17,2) роль независимых переменных играют компоненты тензора u_ik. Иногда бывает удобно пользоваться в качестве та­ковых компонентами a_ik. Для этого надо ввести термодинами­ческий потенциал, определяемый как

U>=F-u_ika_lk. (17,3)

Для дифференциала этой величины будем иметь

dO = -SdT-u_ikdo_lk—±DdE. (17,4)

Подчеркнем, что введение в электродинамике термодинамического потенциала Ф согласно формулам (17,3) и (17,4) связано со справедливостью соотношения (17,1) и потому возможно лишь Для пьезоэлектрических тел.

Определив таким образом нужные нам термодинамические величины, перейдем к описанию пьезоэлектрических свойств кристаллов. Выбрав величины a_ik и Е_к в качестве независимых переменных, мы должны рассматривать индукцию D как их функцию, а в разложении этой функции надо сохранить члены первого порядка по ним. Линейные члены разложения компо­нент вектора по степеням компонент тензора второго ранга в наибо­лее общем случае могут быть написаны в виде 4nY;_iWo"_w, где сово­купность постоянных у,-, _kl составляет тензор третьего ранга (множитель 4я введен для удобства). Поскольку тензор а_ы сим­метричен по своим индексам, то ясно, что и тензор y_{L ы} можно считать симметричным по соответствующим двум индексам:

Y/.w^V,-,/*; С¹⁷-⁵)

для наглядности мы отделяем запятой симметричную пару ин­дексов kl от третьего индекса. Будем называть тензор y_{it ы} пьезоэлектрическим. Его заданием полностью определяются пье­зоэлектрические свойства кристалла.

Добавив пьезоэлектрические члены к выражению (13,1) для электрической индукции в кристалле, напишем

D_|. = D_I.₀+6,_fc£_ft + 4n7,_ilMa_w. (17,6)

Соответствующие дополнительные члены появятся и в термоди­намических величинах. У непьезоэлектрического кристалла в отсутствие поля термодинамический потенциал

ф=ф = Ф₀-±._[Чк1то_1ко_1т,

*) Тензор [likim определяет связь между напряжениями и деформацией согласно

дФ

^uik~ —g_a. —V-iklmGlm-В VII § 10 мы писали обратную зависимость

^aik — 1»iklm^ulm-

Ясно, что все свойства симметрии тензора (X/_fc;m полностью совпадают со свойствами симметрии тензора %(ы_т.

В свободную энергию F упругая энергия входит со знаком плюс:

Термодинамический же потенциал получается из F вычитанием ai_ku,-_k, и потому

Фупр = ^упр — Qik^uik⁼ —¹/2^iklm^uik^ulm= —¹/2l¹iklm^a ik^alm-

где Ф„ относится к недеформированному телу, а второй член представляет собой обычную упругую энергию, определяющуюся тензором упругих постоянных ц._Шга ¹). Для пьезоэлектрика же будем иметь

^{Ф =Фо— у Piklmaik°lm — i eikEiEH—fa EiDi» — Yi, ЫЕР}_М^-

(17,7)

Вид последних трех членов определяется тем, что производные от Ф по E_t (при заданных внутренних напряжениях и темпера­туре) согласно формуле

должны дать выражения (17,6).

Зная Ф, можно получить согласно (17,4) формулу, выража­ющую тензор деформации через напряжения o_ik и поле Е:

Следует отметить, что смысл величин ц_Ш)В и г_1к как упру­гих постоянных и диэлектрической проницаемости в пьезоэлект-рике в определенном смысле условен. При выбранном нами оп­ределении они дают соответственно зависимость деформации от упругих напряжений при заданной напряженности поля и зави­симость индукции от напряженности при заданных напряжениях. Если же деформирование происходит при заданной индукции поля или же мы рассматриваем зависимость индукции от напря­женности при заданной деформации, то роль упругих коэффи­циентов и диэлектрической проницаемости будут играть другие величины, которые могут быть выражены (хотя и довольно сложным образом) через компоненты тензоров ц, е и у.

Определение поля в пьезоэлектрическом теле должно произ­водиться одновременно с определением его деформации и пред­ставляет собой совместную задачу электростатики и теории уп­ругости. Именно, следует искать совместное решение электро­статических уравнений

divD = 0, rotE = 0 (17,9)

с D из (17,6) и уравнений упругого равновесия

= 0 (17,10)

dO;_k

dx_k

с соответствующими граничными условиями на поверхности те­ла и с учетом связи между o_ik и деформацией, даваемой фор­мулами (17,8). В общем случае такая постановка задачи весьма сложна.

Задача очень упрощается для тела эллипсоидальной формы со свободной поверхностью (т. е. к которой не приложены никакие внешние механические силы). В этом случае (§ 8) поле внутри тела, а потому и его деформация однородны, а все упругие на­пряжения o_ik — 0.

Наконец, займемся вопросом о том, какие типы кристалли­ческой симметрии допускают существование пьезоэлектричества. Другими словами, надо рассмотреть ограничения, накладывае­мые условиями симметрии на компоненты тензора у_{и ы}. В об­щем случае этот тензор (симметричный по индексам k и /) имеет 18 отличных от нуля независимых компонент, фактически же число независимых компонент обычно значительно меньше.

При всех преобразованиях симметрии данного кристалла все компоненты его тензора y_{it ы} должны оставаться неизменными по величине. Отсюда сразу следует, что во всяком случае не мо­жет быть пьезоэлектриком тело, обладающее центром симметрии (в том числе, конечно, изотропное тело). Действительно, при от­ражении в центре (изменение знака всех трех координат) меняют знак все компоненты тензора третьего ранга.

Из 32-х кристаллических классов допускают пьезоэлектри­чество всего 20. Сюда относятся, прежде всего, 10 перечислен­ных в § 13 классов, допускающих пироэлектричество (все пиро-электрики являются в то же время и пьезоэлектриками). Кроме того, пьезоэлектрическими являются кристаллы следующих 10 классов:

ромбическая система: D₂,

тетрагональная система D_i, D_ld, 5₄,

ромбоэдрическая система: D₃,

гексагональная система: D_a, С_зп, D_sn,

кубическая система: Т, Т_а.

Перечисление отличных от нуля компонент пьезоэлектрического тензора для всех классов дано в задачах к этому параграфу.

Упомянем здесь еще о родственном пьезоэлектричеству явле­нии, возникающем при «деформировании» жидкого кристалла; при этом мы будем иметь в виду немапшческие кристаллы. На­помним (см. V § 140), что эти жидкие среды характеризуются существованием некоторого выделенного направления преиму­щественной ориентации молекул. Это направление задается в каж­дой точке среды единичным вектором d—директором кристалла. В недеформированном жидком кристалле направление d постоянно вдоль всего его объема, в деформированном — функция коорди­нат. Разложению (17,6) соответствует в жидком кристалле выра­жение индукции в виде

D; = г_!кЕ_к + Ane.di div d + 4ш>₂ [rot d • d]„ (17,11)

где e_u e₂—скалярные коэффициенты (R. В. Meyer, 1969)^x). Два

^J) Пироэлектричество в нематнчег.ких кристаллах фактически неизвестно, поэтому полагаем D₀ = 0.

последних члена, описывающие рассматриваемый эффект, пред­ставляют собой наиболее общий полярный вектор, который можно составить из вектора d и его первых производных по координа­там. Отметим, что выражение (17,11) автоматически оказывается инвариантным относительно изменения знака d.

(17,12)

Что касается тензора диэлектрической проницаемости нема-тического кристалла, то по своей симметрии он совпадает с та­ковым для одноосных кристаллов, причем роль оси симметрии играет местное (в каждой точке среды) направление директора. Тензор e_lk может быть представлен в виде

с двумя независимыми постоянными е₀ и е_а. Задачи

1. Определить отличные от нуля компоненты тензора у,-, и для иепиро-электрических кристаллических классов, допускающих пьезоэлектричество.

Решение. Класс D₂ содержит три взаимно перпендикулярные оси сим­метрии второго порядка, которые выбираем в качестве осей х, у, г. Повороты на 180° вокруг этих осей меняют знаки каждых двух из трех координат. По­скольку компоненты y_it ы преобразуются как произведения xix_kx_t, то отлич­ными от нуля могут быть только те из них, все три индекса которых раз­личны:

Ух, yz> Уг, ху Уу, гх\ остальные отличные от нуля компоненты равны этим в силу свойства y;_kl = ⁼7i. Ik- Соответственно пьезоэлектрическая часть термодинамического потен­циала ^г)

Фпьезо ⁼ 2 (y_Xi yzE_xOy_Z -\~Уу, xzEy°xz -\~Уг, xy^Ez°xy)- (I)

Класс D₂d получается добавлением к осям класса D₂ еще двух плоскостей симметрии, проходящих через одну из осей (пусть ось г) и делящих пополам углы между осями х и у. Отражение в одной из этих плоскостей означает преобразование л:—>- у, у—ух, z—> z. Поэтому компоненты у^ _ы, отличаю­щиеся перестановкой индексов х и у, должны быть одинаковыми, так что из трех коэффициентов в (1) остаются независимыми лишь два:

Уг,ху Ух,уг = Уу,хг-

Класс Т получается из класса D₂ путем добавления четырех диагональ­ных осей симметрии третьего порядка, повороты вокруг которых осуществля­ют циклическую перестановку осей х, у, г, например: х—>z, у—> х, z—> у. Поэтому становятся равными все три коэффициента в (1):

Ух, yz ⁼ Уу, zx ⁼Уг, ху

*) Во избежание недоразумений напомним, что если вычислять компонен­ты тензора деформации непосредственным дифференцированием конкрет­ного выражения для Ф по a_ik, то производные по компонентам a,-_fe с i ф k дадут удвоенные значения соответствующих компонент и,-_к. Это связано с тем, что выражения ицг=—дФ/дсг,д, имеют по существу смысл лишь как выража­ющие тот факт, что йФ= —Uikdcfik; но в сумму «,-fcdo",-_ft члены с дифференциа­лами недиагональных компонент симметричного тензора о;^ входят дважды,

Такой же результат получается для кубического класса Тд.

Класс Di содержит ось симметрии 4-го порядка (ось z) и четыре оси 2-го порядка, лежащие в плоскости ху. В дополнение к элементам симметрии класса />₂ достаточно рассмотреть здесь поворот на 90° вокруг оси z, т. е. преобразование х—у у, у—► — х, г—у г. В силу этого преобразования один из коэффициентов в (1) обращается в нуль (y_z,_xy=^—Уг.ух — = —Yz.xy откуда y_z, _ху= 0), а два других отличаются только знаком:

Ух, yz ~ Уу, XZ-

Такой же результат получается для класса D_e.

Класс S₄ содержит преобразования х—> у, у—>■—х, z—>■ — г и х—> — х, у—> — у, z—у г. Отличны от нуля компоненты

Yz.xy, Ух, yz'~ Уу. xz, Yz,xx~ Уг,уу, Yx,zx > Yy.Zy

Соответствующим выбором направлений осей х, у одна из этих величин мо­жет быть обращена в нуль.

Класс Дз содержит ось симметрии 3-го порядка (ось z) и три оси симмет­рии 2-го порядка в плоскости ху, одна из которых пусть будет направлена по оси х. Для выяснения ограничений, налагаемых наличием оси третьего порядка, удобно произвести формальное преобразование, вводя комплексные «координаты»

l = x+iy, r\ — x — iy;

координату z оставляем без изменений. К этим новым координатам преобра­зуем также и тензор у,- В его компонентах индексы пробегают теперь значе­ния |, т], г. При повороте на 120° вокруг оси z эти координаты подверга­ются преобразованию

|—>?е^2я''/³, т]—►т|е-^2я''³, z—*z.

При этом остаются неизменными и потому могут быть отличными от нуля лишь следующие компоненты тензора y_Lkl: _ц1, у^ ^, у^ _zt), y_h у^ _t)t)( Yz.zz- Поворот же на 180° вокруг оси л: есть преобразование х—ух','у—у—у, z-^—y—z, т.е. \—s-т], т|—► £, z—>• — z. При этом у_г, ni и y_zzz изменяют знак и потому должны обратиться в нуль, а остальные из перечисленных выше компонент попарно переходят друг в друга, что приводит к равенствам Yn, z\~— У'\, zr|, 7|, li = Yr\, riri- Для того чтобы написать выражение для Фиьезо. ^наД° составить сумму —yi,kfii^aki> ^в которой индексы пробегают зна­чения |, Г)> ^z:

Фпьеао = -2_Тч1 ^(Vz-e-V^-Vs, Ц (^Е?Ъ\ + VW-

Здесь надо еще выразить компоненты £; и о_1к в координатах |, т|, z через компоненты в исходных координатах х, у, г. Это легко сделать, воспользо­вавшись тем, что компоненты тензора преобразуются как произведения соот­ветствующих координат. Поэтому, например, из

Ц = хх—yy + 2ixy

следует, что

egg = о хх—^ауу + %о_Ху

В результате получим

Фпьезо = 2а (Е a_zx— E_xo_z ) + Ъ [2Е_уо_ху — Е_х (о_Хх— а_уу)], (2) где a = 2iy_{r) 2}», 6=2y_t ^. — вещественные постоянные. Соотношения между компонентами у-_{и к!} в координатах х, у, г гласят, как это видно из (2)¹):

У у, гх ⁼ Ух, гу = ^а< У у, ху ⁼ Ух, хх — Ух, уу = ^Ь-

Класс D_sft получается добавлением к классу D₃ плоскости симметрии, перпендикулярной к оси третьего порядка (плоскость ху). Отражение в этой плоскости есть изменение знака г, а потому и у ₂>=0, так что в (2) остается только член с одним коэффициентом 6.

Класс C₃h содержит, помимо оси третьего порядка, перпендикулярную к ней плоскость симметрии. Отражение в последней есть изменение знака г, а потому должны быть равными нулю все компоненты у; _к1, в индексах которых г встречается нечетное число раз. Учитывая также рассмотренные выше ограни­чения, налагаемые осью симметрии третьего порядка, найдем, что отличны от нуля только две компоненты у^ ^ и Y| Эти величины должны быть ком­плексно-сопряженными для того, чтобы Ф было вещественным. Обозначив

²Y|, n = ^a + ^ib> ²Vr_],_m = ^a-^ib>

получим

Фпь^а^а[2Е_уо_Ху—Е_х(а_хх—ауу)] + Ь[2Е_ха_ху + Е₁₁(<з_хх — <з_т)]. (3)

Соответствующим выбором направления осей х, у можно обратить а или 6 в нуль.

2. То же для кристаллических классов, допускающих пироэлектричество.

Решение. Пусть ось г совпадает с осью симметрии второго, третьего, четвертого или шестого порядка, а в классе C_s перпендикулярна к плоскости симметрии. В классах C_nv плоскость хг совпадает с одной из плоскостей сим­метрии.

Ниже указаны все отличные от нуля компоненты у/, ы для каждого из классов:

Класс Ci. все у,, _ki-

Класс C_s: все компоненты, содержащие индекс г нуль или два раза. Класс C_2V:

Уг,хх> Уг.уу Уг,гг> Ух.хг' Уу.уг-Класс С₂: те же, что в C_iz„ а также

Ух, уг< Уу, хг< Уг, ху

Класс C_iv:

Уг,хх~Уг,уу Уг, гг< Ух, хг — Уу, уг-

Класс С₄: те же, что в С₄,,, а также

Ух. уг~ Уу, хг-

Класс C_3v:

Уг,гг< Ух,хг~Уу,уг< Ух,хх~ Ух,уу~ Уу.ху Уг,хх~Уг,уу Класс С₃: те же, что в C_3v, а также

*) В неортогональных координатах, каковыми являются |, т], z, надо, как известно, различать ко- и контравариантные компоненты тензоров. Это обсто­ятельство должно было бы учитываться и при переходе к исходным коорди­натам х, у, г: если компоненты и a_ki преобразуются как контравариантные, то компоненты тензора у^м должны преобразовываться как ковариантные. Мы, однако, обходим этот вопрос, определяя связь между различными компо­нентами V/, ы ^в координатах х, у, г непосредственно на основании вида ска­лярной комбинации (2).

Ух, уг⁼ Уу, хг> Уу, хх = — Уу, уу = Ух, ху

Класс C_6v:

Yz,zz> Yx, xz ⁼ Yij, yz< Yz,xx~Yz,yy

Класс C₆: те же, что в C_ev, а также

Yx, yz ⁼ Yy. xz-

Соответствующим выбором направления осей х, у, z в классе С\ можно обра­тить в нуль еще три компоненты, а выбором осей х, у в классах C_s, С₂, С₃ — одну компоненту (в классах же С₄ и С_е выражение Yi, kl^Ei^akl инвариантно относительно поворотов на любой угол вокруг оси z, и потому дальнейшее уменьшение числа отличных от нуля компонент y/_t ы невозможно).

3. Определить модуль Юнга (коэффициент пропорциональности между рас- тягивающим напряжением и относительным удлинением) для плоскопараллель- ной пластинки непироэлектрического пьезоэлектрика в следующих случаях: а) пластинка растягивается обкладками закороченного конденсатора, б) пла- стинка растягивается обкладками незаряженного конденсатора, в) пластинка растягивается параллельно своей плоскости в отсутствие внешнего поля.

Решение, а) В этом случае напряженность поля внутри пластинки Е = 0. Единственная отличная от нуля компонента тензора 0[_к— растягиваю­щее напряжение a_zz (ось z перпендикулярна к плоскости пластинки Из (17,8) имеем и_2г = \1_2гг2а_2г, откуда для модуля Юнга Е:

1/Е = \\_Zzzz-

б) В этом случае в пластинке Е_х = Е_у = 0, Д_г=0. Из (17,6) и (17,8) имеем

D_z = z_zzE_z+4ny_{Zt гг}а_гг=0, u_zz = \y_zzzze_zz + Yz,zz^Ez-

Исключая из этих двух равенств Е_г, найдем

1 4я ₂

—р--—\Lzz2z - Yz, zz'

в) В этом случае также Е_х — Е_у=0, D_z = 0, растяжение же пусть проис- ходит вдоль оси х. Имеем

Е>_г = г_гхЕ_г -|- 4яу_{г> хх}о_хх =0, и_хх = [i_xxxxe_xx + Yz, гг^Ег-

получим

1 4я ₂

~р~ №хххх I Yz, хх-

4. Получить уравнение, определяющее скорость звука в пьезоэлектрической среде.

Решение. В этой задаче удобнее пользоваться как независимыми пере­менными величинами и;_к вместо о,^. Пишем F в виде

F=F_u + ^%i_ki_mUi_kUi_m—~- £;k^Ei^Ek — -^ ^Ei^Dlo + Р(, kl^EiUki<

откуда

айн,

Уравнения движения теории упругости гласят

*) Она не предполагается совпадающей с каким-либо избранным кристалло­графическим направлением.

•• dOjk_. dui_m,_R dE_t

где р—плотность среды, и — вектор смещения, связанный с щь посредством

и - ¹ (^ди' 1^диь\

^Uik~2 \Жь~ ⁺ дХ;)-

Уравнение divD=0 дает

а напряженность поля выражаем через его потенциал:

чем удовлетворяется уравнение rotE=0.

В плоской звуковой волне и и ф пропорциональны e^l^^kr~^ai\ и из напи­санных уравнений получаем

рш²щ = Xikim^kkhu_m — Pz, гЛ%. е,-Л^йф + 4лР,-, kikik_kui = 0.

det

= 0.

Исключив отсюда ф, пишем условие совместности получающихся для щ уравнений

z_rsk_rk_s

(Р/, mih^km) (Рр, qkbpkq)

р(0²б,- k — hlkmklkm — 4я -

При каждом заданном направлении волнового вектора к это уравнение опре­деляет три, вообще говоря, различных, фазовых скорости звука ш/k. Харак­терной для пьезоэлектрической среды особенностью является сложная зависи­мость скорости от направления волны.

5. Пьезоэлектрический кристалл, относящийся к классу C_6v, ограничен плоской поверхностью (плоскость хг), проходящей через ось симметрии (ось г). Найти скорость поверхностных волн, распространяющихся перпендикулярно оси симметрии (вдоль оси х); в волне испытывают колебания смещение и₂ и потенциал электрического поля ф (/. L. Bleustein, 1968; Ю. В. Гуляев, 1969).

Решение. В рассматриваемых условиях в системе уравнений (4) и (5) отделяются два уравнения, содержащие только и₂ и ф; эти величины зависят от координат х, у (и от времени /), но не от г. Отличные от нуля компоненты тензора напряжений и вектора индукции:

<Згх = $^Ех + Ыи_гх, <y_Zy=$E_l/-\-2\u_2y, D_x = — 8nfiu_zx -j- tE_x, Dy = —8nfiu_Zy-\-eEy,

причем

\_0u_z 1 du_z , _ dq> „ _ dq>

^Uzx~2~dx~' ^Uzy~"2'dy' ~^x~~Jx~' у-~~ду~

и для краткости обозначено

Р*, xz ⁼ Ру, yz == Р> h_{xz х2} = Ху_г y_Z = X, е_хх = Вуу = г;

постоянная пироэлектрическая индукция D_Z=D₀ в уравнения и граничные условия не входит.

Уравнение (5) и г-компонента уравнения (4) дают для области, занятой пьезоэлектрической средой (полупространство у > 0):

4ярд«₂ + еДф"') = 0, pii_z = — рДф«'> + Ми_г)

где Д = д²/дх²-\-д²,ду²; перепишем эти уравнения в виде

ри₂ = КМ₂, Дф = 0, (6) где

т- , , 4я0² , 4яр* , _(>1

В пустоте же (полупространство г/ < 0) потенциал ф^(г) удовлетворяет уравнению

Дф<^е>=0. (7)

Эти уравнения должны решаться при граничных условиях на поверхности среды:

<р<'>=<р<«, о_2у=0, D</>=—^ при у=0, (8)

и при условиях

u_z—>■ 0 при у—>-оо; ф—*- 0 при у—*-±со вдали от поверхности. Ищем решение в виде

u_z = Ae-^Kye^{^^x-^atK ^ = Ве-^кУе^нкх'^ш), Ce^klle^l'^kx-^ai\

причем

рш²=Г(й²—х²). (9)

Уравнения (6), (7) и условия на бесконечности уже удовлетворены, а усло­вия (8) дают три линейных однородных уравнения для А, В, С, условие раз­решимости которых приводит к соотношению

x = k — — = Ak.

Кг (1 + е)

Наконец, подставив в (9), найдем фазовую скорость волн

ш_ Г К k

-(1-Л²) Р

Поверхностное распространение этих волн специфично для пьезоэлектри­ческой среды. При (5—>-0 глубина проникновения 1/х—с оо , т.е. волна ста­новится объемной.