§12. Электрострикция изотропных диэлектриков

Для твердого диэлектрика в электрическом поле нельзя ввести понятие давления так, как это делается для изотропного тела в отсутствие поля, потому что действующие в таком диэлектрике силы (они будут определены в §§ 15, 16) меняются вдоль тела и анизотропны, даже если тело само по себе изотропно. Точное определение деформации (электрострикции) такого тела требует решения сложной задачи теории упругости.

Дело обстоит, однако, гораздо проще, если нас интересует только изменение полного объема тела. Как уже было указано в § 5, при этом можно считать форму тела неизменной, т. е. рас­сматривать деформацию как равномерное всестороннее сжатие или растяжение.

Будем пренебрегать диэлектрическими свойствами внешней среды (например, атмосферы), в которой находится рассматри­ваемое тело, т. е. будем считать, что ее е=1. Роль среды сво­дится только к созданию равномерного давления, действующего на поверхность тела. Именно это внешнее давление мы будем обозначать ниже посредством Р. Если ¥ — полная свободная энергия тела, то согласно известному термодинамическому соот­ношению

и соответственно в выражении для дифференциала d¥ должен быть добавлен член —PdV- Так, в однородном внешнем поле имеем вместо (11,5)

d¥ = — dT - Р dV - & №.

Введем полный термодинамический потенциал тела согласно обычному термодинамическому определению:

Ф = ¥ + PV.

(12,1)

Для дифференциала этой величины (в однородном внешнем поле) имеем соотношение

с1ф = — ^ dT + VdP-tfbdV. (12,2)

Изменение термодинамических величин во внешнем электри­ческом поле является обычно относительно малой величиной. Согласно теореме о малых добавках (см. V (15,12)), малое из­менение свободной энергии (при заданных Т и V) и малое изме­нение термодинамического потенциала (при заданных Т и Р) равны друг другу. Поэтому наряду с (11,8) можно написать аналогичное соотношение

Ф = Ф₀-¹/&&> (12,3)

для термодинамического потенциала тела во внешнем однородном поле. Здесь gb„ относится к телу в отсутствие поля при задан­ных значениях Р, Т (в то время как 3~₀ в (11,8) есть свободная энергия тела в отсутствие поля при заданных значениях V и Т).

Выразив в явном виде зависимость дипольного момента от V и & согласно (11,9), перепишем (12,3) в виде

Ф = Ф₉(Р, Т)-ЧУ*_1к%%, (12,4)

причем поправочный член должен быть выражен в функции от температуры и давления согласно уравнению состояния тела в от­сутствие поля. Эта формула особенно упрощается в случае малой диэлектрической, восприимчивости вещества:

ф = ф₀(Р, Т)-^-& (12,5)

(ср. (11,11)).

Искомое изменение объема V — V₀ во внешнем поле можно получить теперь непосредственно путем дифференцирования Ф по давлению (при постоянных Т и ©). Так, из (12,5) найдем

Эта величина может быть как положительной, так и отрицатель­ной (в противоположность электрострикции проводников, объем которых в поле всегда возрастает).

Аналогичным образом можно вычислить также и количество тепла Q, поглощаемое в диэлектрике при изотермическом вклю­чении внешнего электрического поля (причем внешнее давление поддерживается постоянным)^J).

-¹) Если же тело теплоизолировано, то наложение поля приведет к изме­нению температуры, равному ДГ = —Q:1$p, где %р—теплоемкость тела при постоянном давлении,

Дифференцирование Ф — Ф₀ по температуре даст изменение энтропии тела, а умножив его на Т, получим искомое количество тепла. Так, из (12,5) получается

(12,7)

Положительные значения Q соответствуют поглощению тепла.

3 а д а ч и

1. Определить изменение объема и электрокалорический эффект для ди­электрического эллипсоида в однородном электрическом поле, параллельном одной из его осей.

Решение. Согласно формулам (12,3) и (8,10) имеем

8л ПЕ + 1 -

1

V

8л

Для изменения объема находим ^г): У-У_п (J² Г е-1

(пе+1— п) К (пе+1—п)²

—) 1 дР )т\ '

а для электрокалорического эффекта:

а (е —1)

-я)²

8л

Q =

ne + 1 — п (яе+ :

dV_ дТ Jp

-коэффициент сжимаемости тела, а ос =

где _т= —

V I дР )т~ коэффициент теплового расширения.

В частности, для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле п — \, так что

-1

гК

iZp_₌JL²

ТУФ? 8л .

^8л

а(е —1) . 1

дг дР дг дТ

Для такой же пластинки (или любого цилиндрического тела) в продольном поле п = 0 и

' 8л

Q =

Г№²

8л

i а(е —1)­

дТ

■]■

¹) Положив е—>-оо, получим для изменения объема проводящего эплип- соида (V — V₀)/V = Й²/8лЛ>. Для шара п = ¹/₃ и мы возвращаемся к резуль. тату задачи 4 § 5.

²) является теплоемкостью пластинки, помещенной между обкладками плоского конденсатора, включенного в цепь с постоянной э. д. с. В разомкну- том же конденсаторе с постоянными зарядами на обкладках пластинка будет иметь теплоемкость

2. Определить разность теплоемкости ??<p плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле при постоянной разности потенциалов между ее сторонами и теплоемкости при постоянной индукции; в обоих случаях внешнее давление поддерживается постоянным²).

Решение. Согласно результатам задачи 1 энтропия пластинки

Индукция поля внутри пластинки совпадает с внешним полем: D = G. Поэтому для вычисления теплоемкости надо дифференцировать <ff при постоян­ном <$,. Разность потенциалов между сторонами пластинки ф = £/=(у//е, где /—толщина пластинки. При равномерном сжатии или расширении тела / ме­няется пропорционально V¹^³. Поэтому для вычисления теплоемкости ^_ф надо

дифференцировать _Qf при постоянном произведении (JK^Ve. В результате найдем для искомой разности:

3. Определить электрокалорический эффект в однородном диэлектрике, полный объем которого поддерживается постоянным.

Решение. Строго говоря, при наложении внешнего поля плотность тела меняется (становясь неоднородной вдоль тела), даже если его полный объем поддерживается постоянным. Однако при вычислении изменения полной энтропии этим обстоятельством можно пренебречь и считать плотность р по­стоянной в каждой точке тела ').

Согласно (10,18) полная энтропия тела

где интегрирование распространяется по объему тела. Поглощаемое коли­чество тепла

4. Определить разность — ^_D (см. задачу 2) при постоянном полном объеме пластинки.

Решение. При неизменном объеме (а потому и толщине) пластинки дифференцирование при постоянной разности потенциалов эквивалентно диф­ференцированию при постоянной напряженности Е.

С помощью полученной в задаче 3 формулы для энтропии находим

_ TVE* ( дг у_ TV& ( дг у

5. Конденсатор состоит из двух проводящих поверхностей, находящихся на расстоянии h друг от друга, малом по сравнению с размерами обкладок; пространство между обкладками заполнено веществом с диэлектрической про- ницаемостью е_х. В конденсатор вводится шарик радиуса n^ftc диэлектриче- ской проницаемостью е₂. Определить изменение емкости конденсатора.

Решение. Пусть шарик вводится в конденсатор так, что разность по­тенциалов ф между его обкладками остается неизменной. Роль свободной энергии при постоянных потенциалах проводников играет Jp'. В отсутствие шарика jF = —С₍|ф²_;2, где С₀ — первоначальная емкость конденсатора. Ввиду

') Изменение плотности бр — величина второго порядка по полю (—£²), а связанное с ним изменение полной энтропии—четвертого порядка. Действи-

dS С

тельно, линейное по бр изменение полной энтропии есть J SpdV, ио ин­теграл \ bpdV = 0 в силу неизменности общей массы тела.

малых размеров шарика можно считать, что он вводится в однородное поле с напряженностью ® = ф//г, а изменение мало. Малое изменение при по­стоянных потенциалах равно малому изменению при постоянных зарядах источников поля. С помощью формулы, полученной в задаче § 11, и фор­мулы (8,2) находим

^# "~ 2 ^Lo<P 2n² 2_6l + g₂ ' откуда искомая емкость

_г__г , а³ Мег — б]) ^с-^с<Н"р 2_б1 + е₂ ■