§ 11. Полная свободная энергия диэлектрического тела

Полная свободная энергия ¥ (или полная внутренняя энер­гия 41), как она была определена в предыдущем параграфе, включает в себя также и энергию внешнего электрического поля, поляризующего диэлектрик; это поле можно представлять себе как создаваемое определенной совокупностью проводников с за­данными полными зарядами на них. Наряду с этой величиной ¥ имеет смысл рассмотреть полную свободную энергию, из ко­торой исключена энергия поля, которое существовало бы во всем пространстве в отсутствие тела. Обозначим напряженность по­следнего посредством (В. Тогда «полная» в указанном смысле свободная энергия равна интегралу

(ИЛ)

где F— плотность свободной энергии. Мы будем здесь обозначать эту величину той же буквой ¥, которой в § 10 обозначался

интеграл ] F dV. Следует подчеркнуть, что разница между обоими определениями ¥ сводится к величине, не зависящей от термо­динамического состояния и свойств диэлектрика, и потому вообще не отражается на основных термодинамических дифференциаль­ных соотношениях, которые имеют место для этой величины¹).

Вычислим изменение ¥ в результате бесконечно малого из­менения поля, происходящего при постоянной температуре и без нарушения термодинамического равновесия среды.

^J) Отметим, что вычитать из F величину £²/8л не имело бы смысла, так как Е есть поле, уже измененное присутствием диэлектрика, и потому раз­ность F — (£²/8я) отнюдь нельзя было бы рассматривать как плотность сво­бодной энергии диэлектрика как такового.

Поскольку 6/⁼' = -^-E6D, то имеем

б,Г = A- J (Е 6D — в б®) dV.

Это выражение можно тождественно переписать в виде

⁶¹_{=i I <}^D _- ^6-_>^бс? _{^+i I}^Е _<^6D _-^{6 с}_')^dv _{- i I (° -} ^Е₎^{ш dv}_-

(11,2)

В первом интеграле пишем 6с* =— §гас!бф₀ (ф₀ — потенциал поля Щ и преобразуем его по частям:

J grad б_Фо (D—Щ dV = J б_Фо (d—<g) df — J б_Фо div (d—в) dV.

Легко видеть, что оба интеграла в правой части равенства обра­щаются в нуль. Для объемного интеграла это следует непосред­ственно из уравнений divD = 0 и div© = 0, которым удовлетво­ряют соответственно поле в диэлектрике и поле в пустоте. Первый же интеграл берется по поверхности создающих поле проводни­ков и по бесконечно удаленной поверхности. Последний интеграл обращается, как обычно, в нуль, а на каждом из проводников бф₀ = const, так что

<£б_Фо (D — ®)df = бф₀^ (D—G) df.

Но поле (€•, по определению, создается теми же источниками, что и поле Е с индукцией D (т. е. одними и теми же провод­никами с заданными полными зарядами е на них). Поэтому оба

интеграла &D_ndf и (f)($:_ndf равны одной и той же величине 4яе, а их разность равна нулю.

Аналогичным образом убеждаемся в том, что равен нулю и второй член в (11,2) (для этого подставляем в нем Е =■= — grad ф и производим такое же преобразование). Окончательно получается

^{бг ==_ j_J(d—E)6edK=—jp6edv. (П,3)}

Замечательно, что в этом выражении интеграл берется только по объему, занятому диэлектрической средой, так как вне тела Р = 0.

Подчеркнем, однако, что подынтегральное выражение Р6© не может быть истолковано как вариация «плотности» свободной энергии тела, подобно тому, как это было сделано в связи с фор­мулами (10,3), (10,4). Прежде всего, эта «плотность» должна су­ществовать и вне тела, так как его наличие искажает поле и в окружающем пространстве. Ясно также, что плотность энер­гии в каждой точке тела может зависеть лишь от реально су-

шествующего в ней поля, а не от поля, которое имелось бы здесь в отсутствие тела.

Если внешнее поле @ однородно, то

6<F = -6e-$Pdi/= — ^»бе, (11,4)

где —полный электрический дипольный момент тела. Поэтому термодинамическое тождество для свободной энергии можно на­писать в данном случае как

d¥ = — <ydT — _<p>d®. (11,5)

Полный электрический момент тела можно, следовательно, полу­чить путем дифференцирования полной свободной энергии:

Отметим, что последнюю формулу можно получить и непо­средственно из общей статистической формулы

дХ \ дк ] т '

где Ж—-гамильтониан тела как системы составляющих его час­тиц, а "к — какой-либо параметр, характеризующий внешние усло­вия, в которых находится тело (см. V (11,4), (15,11)). Для тела, находящегося во внешнем однородном поле О?, гамильтониан содержит член —где — оператор дипольного момента, и, выбрав 05 в качестве параметра К, мы получим искомую фор­мулу.

Если D и Е связаны друг с другом линейной зависимостью D = eE, то аналогичным путем можно вычислить в явном виде не только вариацию 6<F, но и саму <F. Имеем

Это выражение тождественно переписываем в виде .

^{=i 1 <Е + е) <D - ®)dy—к I ® (° ~Е) м.}

Первый член в правой части равенства обращается в нуль, в чем можно убедиться, положив в нем E-f-0? =— grad (ср + ф₀) и про­изведя преобразование, вполне аналогичное произведенному выше. Поэтому получаем

F-f₀(V, T) = -\^WdV. (11,7)

В частности, в однородном внешнем поле

f-f₀(l/, Т) = -Ч&&. (11,8)

Последнее равенство можно было бы получить и путем не­посредственного интегрирования соотношения (11,3), если заме­тить, что в силу линейности всех уравнений поля (при D = eE) электрический момент должен быть линейной функцией ©.

Линейную зависимость между компонентами и можно написать в виде

*/ = V«,*®*, (11,9)

подобно тому, как это было сделано нами для проводников (§ 2). В отличие от проводников, однако, «поляризуемость» диэлектри­ческого тела зависит не только от его формы, но и от его ди­электрической постоянной. Симметричность тензора <x_ik (упомя­нутая уже в § 2) непосредственно следует из соотношения (11,6); достаточно заметить, что вторая производная

д²<Г ЗУ/

не зависит от порядка дифференцирования.

Формула (11,7) еще более упрощается в важном случае, когда е близко к 1, т. е. диэлектрическая восприимчивость х = (е—1)/4л мала. В этом случае при вычислении энергии можно пренебречь вызываемым наличием тела искажением поля, т. е. положить

Р = хЕ л? х©.

Тогда

^{IF — <F}₀ ^{= —- у J (S2 dV, (11,10)}

где интеграл берется по объему тела. В однородном поле диполь-ный момент _t^^, = Vx6-, а свободная энергия

f-f₀ = -^g². (11,11)

В общем случае произвольной зависимости D от Е простые формулы (11,7) и (11,8) не имеют места. Для вычисления W здесь может быть полезной формула

8л 2

_^=K^F_-i£)^dv==_S[^F_-^-^im

dV, (11,12)

вывод которой после произведенных выше вычислении очевиден. Действительно, подынтегральные выражения в обоих интегралах отличаются на величину

ed е² 1 _/г. ,„ >.

—ST Г+8л-=-&т-(°-^е)(^Е+^'

после подстановки Е = — V<P, © =— V<P₀ ^и интегрирования по всему пространству это выражение обращается в нуль. Обратим внимание на то, что в (11,12) (как и в (11,7)) подынтегральное выражение (во втором интеграле) обращается в нуль вне тела (где Р = 0, F = £²/8л), так что интегрирование производится только по его объему.

Задача

Получить формулу, заменяющую (11,7), для тела, находящегося не в пустоте, а в среде с диэлектрической проницаемостью в^(<?>.

Решение. Повторяя для этого случая произведенные в тексте преобра­зования, получим

^{¥ ~¥о = - J 6- (D-e«)E) dV.}