§ 99. Двухосные кристаллы

У двухосных кристаллов все три главных значения тензора e_ik различны. Сюда относятся кристаллы триклинной, моноклин- ной и ромбической систем. В кристаллах триклинной системы положение главных диэлектри- ческих осей не связано с ка- кими бы то ни было определен- ными кристаллографическими направлениями; в частности, оно меняется с изменением час- тоты, от которой зависят все компоненты г_1к. В кристаллах моноклинной системы кристал- лографически фиксирована одна из главных диэлектрических осей (она совпадает с осью сим- метрии второго порядка или перпендикулярна к плоскости Рис. 54.

симметрии); положение же двух

других главных осей зависит от частоты. Наконец, в крис­таллах ромбической системы фиксировано положение всех трех главных осей — они должны совпадать с тремя взаимно перпен­дикулярными осями симметрии второго порядка.

Изучение оптических свойств двухосных кристаллов связано с исследованием уравнения Френеля в его общем виде.

Примем в дальнейшем для определенности, что

е<*> < _ev> < _еи>. (99,1)

Для выяснения характера формы поверхности четвертого поряд­ка, определяемой уравнением (97,10), прежде всего найдем форму ее сечений координатными плоскостями. Положив в уравнении п_г = 0, найдем, что его левая часть распадается на два множи­теля:

(л² — е<*>) (е⁽*>л² + t^n-l—е⁽*>е v>) = 0.

Отсюда видно, что контур сечения в плоскости ху состоит из круга

л² = е^(г) (99,2)

и эллипса

п\ п_у

ivl + gT5)^{= 1} > (99,3)

причем согласно условию (99,1), эллипс лежит внутри круга. Аналогично найдем, что сечения плоскостями yz и xz тоже со­стоят из эллипса и круга, но в плоскости yz эллипс лежит вне круга, а в плоскости xz они пересекают друг друга. Таким об­разом, поверхность волновых векторов есть самопересекающаяся поверхность изображенного на рис. 54 типа (на рисунке изобра­жена поверхность в одном октанте).

Эта поверхность имеет четыре особые точки—четыре точки само­пересечения, лежащие по одной в каждом квадранте плоскости хг. Особые точки поверхности, заданной уравнением вида f(n_x, п , п_г)= =0, определяются, как известно, равенством нулю всех трех первых производных функции f. Дифференцируя выражение в ле­вой стороне уравнения (97,10), получим следующие уравнения:

п_х [е^(у) (е<->" + е⁽²>) — г^(х)п² — (е^(х)/г| + e⁽-^v)«² + е^(г>«²)] = 0, п_у [ eV> (е^и'> + е^(г)) — е<у>п² — (e^w«². + е⁽Я«² + _е^(г>/?²)] = 0, (99,4) п₂ [e^U) (e^w> + е⁽Я) — г^п² — (е<*>«². + г^п_у + е^(г,/г§)] = 0

(причем должно удовлетворяться, конечно, и само уравнение (97,10)). Заранее зная, что искомые направлениям лежат в пло­скости хг, полагаем "_у = 0, а из двух остающихся уравнений после простого вычисления находим¹):

₂_ е'^г> (е<Я — _е<*>) ₂_е^> (в<^г>—е'Л)

^Пх ~ _e(2) __Еу) > "г— _е(г)__Е(_Л) • (99,5)

Направления этих векторов п наклонены к оси г под углом р\ для которого

Этой формулой определяются две оси (два направления) в пло­скости хг, каждая из которых проходит через две противопо­ложные особые точки и наклонена под углом Р к оси г. Они называются оптическими осями (или бинормалями) кристалла; на рис. 54 пунктиром показана одна из них. Направления опти­ческих осей являются, очевидно, единственными направлениями, в которых волновой вектор может иметь всего одно значение²).

^J) Легко непосредственно убедиться в том, что найденное таким образом решение есть единственное вещественное решение уравнений (99,4). Если все три компоненты п_х, п_у, n_z отличны от нуля, то три уравнения (99,4) проти­воречат друг другу (в них, по существу, входят всего две неизвестные: я² и е<^х> я^ + е'Яя^ + е'^я².). Если же я_х = 0 или я_г = 0, то уравнения имеют мни­мые решения.

²) На тензорном эллипсоиде (97,23) бинормали определяются как направ­ления, перпендикулярные к которым сечения эллипсоида являются окружно­стями. Как известно, трехосный эллипсоид имеет два таких сечения.

Аналогичными свойствами обладает лучевая поверхность. Для получения соответствующих формул достаточно заменить п на s и е на 1/е. В частности, имеются две оптические оси лучей (или би-радиали), расположенные тоже в плоскости хг и наклоненные к оси г под углом у:

^t_g^T=]/gEi=/Stg_P^{. (99,7)}

Так как е^<х> < е^(г), то у < р\

Направления п и s совпадают лишь для волн, распространя­ющихся в направлениях координатных осей (т. е. главных ди­электрических осей). Если п лежит в какой-либо из координат­ных плоскостей, то s лежит в той же плоскости. Из этого правила имеется, однако, одно замеча­тельное исключение—для вол- ^z новых векторов, направленных вдоль оптических осей.

Общие формулы, определяю­щие вектор s по вектору п (см. задачу к § 97), при под­становке в них значения п из (99,5) дают неопределенность вида 0/0. Происхождение и смысл этой неопределенности вполне понятны из следующих геометрических соображений. А Вблизи особой точки внешняя q и внутренняя полости поверх­ности волновых векторов пред­ставляют собой конусы с об­щей вершиной. В этой вершине (особой точке) направление нормали к поверхности становится неопределенным; между тем указанные формулы определяют направление s именно как на­правление нормали. В действительности волновому вектору, на­правленному вдоль оптической оси (бинормали), соответствует бесконечное множество лучевых векторов, направления которых заполняют определенную коническую поверхность (конус внут­ренней конической рефракции)¹).

Для нахождения этого конуса лучей можно было бы исследовать направления нормалей в окрестности особой точки. Более нагля­ден, однако, путь, основанный на геометрическом построении с помощью лучевой поверхности.

*) Описываемое ниже явление конической рефракции было предсказано Гамильтоном (W. R. Hamilton, 1833).

На рис. 55 изображено в одном квадранте (сплошными кри­выми) сечение лучевой поверхности плоскостью xz. В этих же осях координат изображено (в произвольно измененном масштабе) сечение поверхности волновых векторов. Прямая OS есть бира-диаль, aON — бинормаль; волновой вектор, соответствующий точ-. ке N, обозначим как n_N. Легко видеть, что особой точке N поверхности волновых векторов соответствует на лучевой поверх­ности особая касательная плоскость—плоскость, перпендикуляр­ная к направлению ON и касающаяся поверхности не в отдель­ной точке, а по целой кривой (как оказывается, — по окруж­ности). На рис. 55 сечение этой плоскости изображено отрезком аЬ. Это непосредственно следует из указанного в § 97 геометри­ческого соответствия между поверхностью волновых векторов и лучевой поверхностью: если к какой-либо точке s лучевой поверхности провести касательную плоскость, то перпендикуляр, опущенный из начала координат на эту плоскость, совпадает по направле­нию с п и по величине равен l/п, где п — волновой вектор, со­ответствующий данному s. В нашем случае должно иметься беско­нечное множество векторов s, соответствующих одному и тому же п=Пд,; поэтому отвечающие всем им точки лучевой поверх­ности должны лежать на одной и той же касательной плоскости, причем эта плоскость перпендикулярна к n._v. Таким образом, на рис. 55 треугольник Oab есть след сечения конуса внутренней конической рерракции плоскостью xz.

Количественный расчет описанной геометрической картины не представляет особых трудностей, но мы не будем излагать его здесь, ограничившись приведением окончательных формул. Урав­нение окружности, по которой конус рефракции пересекает лу­чевую поверхность, дается совокупностью следующих двух формул:

(_gu>_₈<*>) _Sy + (s_x ]/e^u>(e^(Z| — _е'у>) — s_z j/"e^(Z) (е⁽>-> — е⁽*>)) х

х(../^-«./^)-0. <"'⁸>

5_х]/е^(г>(е^^>—е⁽*>) +s_z j/_ei*> (_£<^г> _еу>) = Уe^(Z> — е^(х>.

Первое из этих уравнений, если понимать в нем s_x, s_y, s_z как три независимые переменные, есть уравнение самого конуса реф­ракции. Второе же дает уравнение касательной (к лучевой по­верхности) плоскости. В частности, при s_y = 0 первое уравнение (99,8) распадается на два уравнения

_ -.f e^MeW —s^u)) _ f _e'*> (eW-eW)

17 ~ V e<*>(e<*> —е^>) ' s_z ~ V г^(г^—г^)) '

которые определяют направления крайних лучей (соответственно Оа и Ob на рис. 55) в плоскости сечения xz. Первое из них сов­падает с направлением бинормали (ср. (99,6)), которое в то же время перпендикулярно к касательной аЬ.

Аналогичное положение имеет место для волновых векторов, соответствующих заданному лучевому вектору. Вектору s, направ­ленному по бирадиали, соответствует бесконечное множество волно­вых векторов, направления которых заполняют так называемый конус внешней конической рефракции (на рис. 55 треугольник Оа'Ь' есть след сечения этого конуса плоскостью xz). Соответствую-

n, е

щие формулы получаются, как всегда, заменой в формулах (99,8) и гласят:

_e<j» (е<*>_₈<*>) п\ + (п_х]/"е^(г> — е^> — п_г VW-X (n_xe^w>

<*>) _x ^>) = 0,

(г)

• е0->-

1/е

(99,9)

У e⁽J" -

^„_х ^|/_e^y>__e^u> ₊ ^„_г ^т/_е^(')__е^у) ₌ ^{]/^ГГ7^"_}_е^(*>j

Для фактического наблюдения внутренней конической рефрак­ции ^х) можно воспользоваться плоскопараллельной пластинкой, вырезанной из кристалла перпендикулярно к бинормали (рис. 56). Поверхность пластинки закрыта узкой диафрагмой, выделяющей из перпендикулярно падающей на пластинку плоской волны (вол­ны с определенным направлением волнового вектора) узкий пучок. Волновой вектор в прошедшем в пластинку свете будет иметь это же направление, со­впадающее с бинормалью, и потому его лучи распределятся по поверхности ко­нуса внутренней рефракции. Свет же, выходящий из другой поверхности плас­тинки, имея тот же волновой вектор, что и падающий свет, распределится по поверх­ности кругового цилиндра.

Рис. 56.

Для наблюдения же внешней коничес­кой рефракции пластинка должна быть вы­резана перпендикулярно к бирадиали, а ее

обе поверхности — закрыты диафрагмами с малыми отверстиями, расположенными точно одно против другого. При освещении пла­стинки сходящимся пучком света (т. е. пучком, содержащим лу­чи со всевозможными направлениями п) диафрагмы выделят внутри пластинки лучи с направлением s вдоль бирадиали и, соответственно, с направлениями п, заполняющими поверхность конуса внешней конической рефракции. Выходящий из второго отверстия свет распределится поэтому тоже по конической по­верхности (которая, однако, вследствие преломления на выходе не точно совпадает с конусом внешней рефракции).

Законы преломления на поверхности двухосного кристалла при произвольном направлении падения чрезвычайно громоздки, и мы не будем останавливаться на них ²). Укажем лишь, что в отличие от одноосного кристалла, обе преломленные волны яв­ляются «необыкновенными» и их лучи не лежат в плоскости па­дения.

¹) Следующее ниже описание весьма схематично.

²) Изложение соответствующих вычислений можно найти в статье Szi- vessy G. Kristalloptik в книге: Handbuch der Physik, Bd XX.—Berlin, 1928.

Как условлено в § 97, мы рассматриваем оптику прозрачных кристаллов. Упомянем здесь, однако, об одном свойстве двухосных кристаллов, которое может возникнуть при учете поглощения.

Рассмотрим распространяющуюся в кристалле однородную плоскую волну; в ней п—комплексный вектор, причем, однако, его вещественная и мнимая части имеют одинаковое направле­ние: n = ttv, где v — вещественный единичный вектор, а п = п (со)— комплексная величина. При заданном v дисперсионное уравне­ние (97,21) в раскрытом виде гласит:

п~^А—п-Чл_п + и,₂) + г)_ит1₂₂ — и²₂ = 0,

где T]₍._ft = efft¹, а индексы 1, 2 — тензорные индексы в плоскости, перпендикулярной v. Это квадратное по п~² уравнение имеет кратный корень, если

1122—ilii = ± 2b_1l2; (99,10)

при этом я^-2 = (т)_п + т|₂₂)/2. При наличии поглощения тензор ^к^Чк + Щиг комплексен.

В двухосных кристаллах эллипсоиды тензоров r\'_ik и r\"_ik трех-осны, причем отношения длин их полуосей (а в кристаллах три­клинной и моноклинной систем также и их направления) различ­ны для обоих тензоров. В этих условиях двумерные тензоры и т)а_Р не приводятся, вообще говоря, одновременно к главным осям. Угол г} между главными осями обоих тензоров—функция двух независимых переменных (углов, задающих направление v). Поэтому при заданной частоте со может существовать однопара-метрическое множество направлений v, для которых г} = я/4. При таком значении г} мнимая часть комплексного уравнения (99,10) удовлетворяется тождественно, а вещественная часть принимает вид

%—% = + (Л2—%). (99,11)

где индексы 1 и 2 указывают главные значения соответствующих тензоров'). При любом выборе осей х_х, х₂ уравнения (97,21) да­дут теперь

D₂/D₁ = (н₂₂—н_а)/2т1₁₂ = ± i,

где два знака в правой стороне равенства отвечают двум знакам в (99,10). Таким образом, условия {} = я/4 и (99,11) совместно выделяют для каждого значения со определенное направление v, в котором может распространяться лишь волна с круговой по­ляризацией одного знака—левой или правой, смотря по тому, с каким знаком выполняется условие (99,10) (W. Voigt, 1902). Такое направление в кристалле называют сингулярной или кру­говой оптической осью.

*) В сказанном легко убедиться, выбрав оси х_х, х_г в направлении глав­ных осей тензора г\'_а^ и выразив компоненты тензора т)'^ через его главные значения.

В соответствии с общей теорией линейных дифференциальных уравнений, второе независимое решение уравнений поля содер-

жит в этом случае наряду с экспоненциальным множителем exp (mvr) (содержащим в себе и затухание) еще и линейный по координатам множитель вида a-j-bvr¹). Поляризация этой волны меняется вдоль луча, но в конце концов по мере увеличения vr устанавливается такая же круговая поляризация, как и в пер­вой волне (это становится очевидным, если заметить, что в ука­занном пределе при подстановке решения в уравнения поля диф­ференцированию следует подвергать только экспоненциальный множитель; разница между обоими решениями тогда исчезает).

Подчеркнем отличие сингулярной оси от случая, когда двой­ной корень дисперсионного уравнения возникает автоматически в силу симметрии кристалла. Для света, распространяющегося вдоль оптической оси одноосного кристалла, двумерный тензор н_аР имеет вид н_ай = т)б_ай и условие (99,10) удовлетворяется тож­дественно. При этом уравнения (97,21) допускают два незави­симых решения с различными поляризациями.