Лекція 6. Лінійні неперервні оператори у гільбертовому просторі.

1. Спряжений та самоспряжений оператор.

Нехай L (Н), де Н – гільбертовий простір.

Означення. Оператор А : Н Н називається спряженним до оператора А, якщо для будь – якого х, у Н (Ах, у) = (х, А у).

Приклади. 1. Н = R і А L (R ) задається матрицею (а ) . Тоді із рівності (Ах, у) = (( , (у ,…,у )) = = =((х ,…,х ), )), маємо А у = ). З іншого боку А у = ( де (а ) – матриця оператора А , отже матриця оператора А - є транспонірована матриця оператора А (Якщо Н = С , то ).

2. Нехай Н = L (R, dμ), а (Ах)(t) = dμ(s), де k(t,s) L (R R, dμ dμ).

((Ах)(t), у(t)) = dμ(s)) dμ(t) = dμ(t))х(s)dμ(s)= . Отже, (А у)(S) = у(t)dμ(t) і k (s,t) = .

Розглянемо деякі властивості спряженого оператора.

Теорема. Дане визначення коректно, тобто співвідношення (Ах, у) = (х, А у) визначає оператор А . Крім того, А L (Н), .

Доведення. Припустимо, що співвідношення (Ах, у) = (х, А у) не однозначно визначає по у А у, тобто такий, якому відповідають два вектори , що задовольняють співвідношенням (Ах, у) = (х, z ), (Ах, у) = (х, z ), . Тоді (х, z - z ) = 0, , отже z - z х, де х – будь – який вектор з Н, це можливо тільки коли z - z = 0. Це і доводить коректність означення А . Лінійність А випливає з властивостей скалярного добутку. Доведемо обмеженість А . Дійсно = , тобто і А L (Н).

З іншого боку = = і , отже .

Теорема. Якщо А, В L (Н), то (АВ) = В А , (А ) = А. Якщо А L (Н) такий, що має обернений, то А теж такий, що має обернений і (А ) = (А ) .

Довести самостійно.

Означення. Оператор А L (Н) називається самоспряженим, якщо А = А , тобто (Ах, у) = (х, Ау), .

Приклади. 1. Н = R , то А самоспряжений, якщо має матрицю, що співпадає з транспонованою (Якщо Н = С , то ).

2.Н = L (R, dμ), (Ах)(t) = dμ(s), де k(t,s) L (R R, dμ dμ). А - самоспряжений, якщо k(t, s) = .

Теорма. Будь – який оператор А L (Н) єдиним чином можна представити у вигляді А = Re A + i Im A, де Re A, Im A – самоспряженні оператори.

Доведення. Покладемо Re A = ), Im A = ). Рівність А = Re A + i Im A випливає з означення Re A і Im A. Крім того, застосовуючи властивості спряженого оператора маємо

(Im A) = .

2. Проекційні оператори.

Нехай G – деякий підпростір простору Н, G - його ортогональне доповнення. Тоді х = у + z, де y = np x, z = np x.

Означенн. Проекційним оператором в Н на G називається оператор Р , що діє за законом Н х Р х = np x.

Якщо {e } – ортонормований базис в G, то Р х = .

Теорема. Нехай G деякий підпростір Н. Проекційний на G оператор задовольняє властивостям: 1) Р L (Н) (G {0}) і 2) ; 3) Р - самоспряжений оператор і (Р х, х) 0.

Довести самостійно.

Теорема. Нехай А L (Н) і самоспряжений . Якщо , то існує підпростір G Н, такий, що А = Р .

Доведення. Розглянемо G = {g H }. Оскільки G = Ker (А – Е), то G підпростір Н. Покажемо, що А = Р . Враховуючи властивість , маємо, що Ах G. Підпростору G належить також вектор Р х, . Таким чином, достатньо перевірити, що (Ах, g) = (Р х, g). Це випливає з рівності (Ах, g) = (x, Ag) = (x, g) = (x, Р g) = (Р х, g).