Дәріс 6. Таңдама сипаттамасының дәлдігі

Таңдама сипаттамасы (орташа мән, стандартты ауытқу, мода, қарқын, интервалдық бөлінді және т.б.) бас жиынтықтың сипаттамасынан өзгеше. таңдаманың аттас сипаттамасы мен бас жиынтық айырмасы таңдама сипаттамасының қатесі деп аталады.

(60)

Бас жиынтық сипаттамасы белгісіз болғандықтан қатені табу қиынға соғады. Бұл есепті шешу таңдау сипаттамаларын кездейсоқ шамалар ретінде қарастыру арқылы жүзеге асады.

Белгілі бір бас жиынтықтан ( - таңдама саны) алынған бірнеше таңдаманың орташа мәндерімен тұратын қатар бар деп есептейік.

Бұл қатар үшін орташа мәнді («орташалардың орташасы») табуға (қатардағы (4.3) берілгендердің жеткілікті санымен оның бас жиынтықтың орташа мәнінен айырмашылығы өте аз) және стандартты ауытқуды табуға болады.

І реттік нөмірлі таңдама бойынша

; (61)

орташа мәннің қатесі (60) келісе отырып, мынадай болады:

(62)

Міндет, бір ғана таңдаманың деректері бойынша қате шаманы алуға тырысу. Бұл жағдай үшін дәлелденгені

(63)

Мұнда -таңдама мүшелерінің стандартты ауытқуы, п- оның көлемі. Жалғыз ғана таңдамадан анықтау мүмкін емес, олай болса, нақты шаманы да, қате белгісін де табу мүмкін емес. Алайда оның максималды мүмкін абсолютті мәнін табуға болады, олай болса,

(64)

Ішінен жеке таңдама бойынша үлестірімнің орташа мәні Стьюдент үлестірім заңына әрқашанда бағынатындығы дәлелденген. (64)- тен шығатыны:

(65)

немесе, Стьюдент функциясының аргументін ескере отырып:

(66)

(6) ескере отырып, жазамыз:

(67)

-ны анықтау үшін, (64) қатынасы әділ болуы үшін сенімділігін беру қажет. Оның үстіне Стьюденттің үлестірім интегралды функциясы мынадай:

(68)

әрі қарай да -ны п таңдама көлемін ескеретін кестеден табады.

Осылайша таңдаманың стандартты ауытқуы, сенімділік үлкен болған сайын және п көлем кіші болған сайын орташа мән қатесі үлкен болады. Орташа мән қатесі берілген сенімділігі мен берілген мәннен асып түспеуі үшін қажет таңдама көлемін (67) теңдеуінен табуға болады.

(69)

Бұрғылаудағы ғылыми зерттеу тәжірибесінде әртүрлі ескі және жаңа техникалардың сынақтарының нәтижелерін салыстырып бағалау жүргізуге тура келеді.

Егер салыстыру жаңа техниканың пайдасына шешілсе, бірақ оның артықшылығы айтарлықтай болмаса, онда бұл артықшылық кездейсоқ емес пе деген сұрақ туады. Жаңа құрылғының артықшылығының маңызын тексеру қажет.

Математикалық есеп мына түрде беріледі:

Екі таңдама бар: және

Таңдаманың орташа мәні және оған сәйкес стандартты ауытқулар және . Егер бір бас жиынтықтың екі таңдама бойынша орташа мәні болса, пен арасындағы айырмашылық маңызды емес. Егер таңдамалар әртүрлі бас жиынтықтарға жататын болса (кері гипотеза), онда айырмашылық елеулі болады. Егер сенімділігі берілген мәннің сенімділігінен кем болмаса қабылдайтын тура гипотезаны қарастырады. Егер тура гипотеза сенімділігі жеткіліксіз болса, онда бұл гипотезаны теріске шығарады және елеулі айырмашылықтың дәлелі ретінде кері гипотеза қабылданады. пен орташа мәндер арасындағы айырмашылық елеулі болуына кепілдік беру үшін берілген мәнді өте төмен қабылдайды – шамамен 0,1 және одан да аз. Тура гипотезаны қарастыра отырып, бір басты жиынтықтан жасалған бірнеше таңдама бойынша орташа мәннің Стьюдент заңына сәйкес үлестірімі ескеріледі. Бұл заңға , да да бағынатын болғандықтан (к-ны таңдама бойынша орташа),

(70)

(71)

Осының ізімен

(72)

мен тауып анықтайды, еркіндіктің дәреже саны ретінде мынаны қабылдайды

(73)

Егер екі таңдаманың әрбірі бойынша шама

10 15тен асып түссе және болса , онда табу үшін қарапайымырақ формуланы қолдануға болады:

(74)

мұнда: пен кезінде тура гипотеза теріске шығарады және

и арасындағы айырмашылықтың елеулілігі дәлелденген болып есептеледі, олай болмаған жағдайда айырмашылық елеулі емес деп ұйғарылады. Алайда бұл соңғы шешімді түпкілікті деп қарастыруға болады, себебі ол п мен m нен асып түспейтін таңдама көлемдеріне ғана лайық. және жаңа көлемдер алдыңғыдан есе асып түскенше тәжірибені жалғастыра отырып, -ны қайта санап шығуға болады және тағы да бір рет келтірілген әдістемені қолдауға болады.

Таңдама дисперсиясының дәлдігінің бас жиынтық дисперсиянан қате шамасына айырмашылығы бар.

(75)

ақиқат шама белгісіз болғандықтан, дәлдік мәнді анықтау да мүмкін емес, сондықтан қалыптасқан сенімділікпен бас жиынтық дисперсиясы қорытындылатын шектерді табу міндеті тұрады.

(76)

Егер бір бас жиынтықтан n көлемінің бірнеше таңдамасын жасаса, онда бір-бірінен айырмашылығы бар дисперсияның мәндері қатар құрады. Бұл қатар «хи-квадрат» үлестіріміне жауап беретіні дәлелденген, оның параметрі

(77)

мұнда: – еркіндік (бостық) дәрежелерінің саны.

Үлестірме заңын біле отырып, берілген сенімділік бойынша оған сәйкес шамасының АВ сенімді интервалын құруға болады. А және В шектері үлестірімнің интегралды функциясының квантилдері болып табылады, А және В үшін мәндері тең.

(78)

А және В (77) формулаға қойып, аламыз:

(79)

Дисперсияның максималды қатесі

(80)

Максималды қателердің абсолютті мәні жоғары таңдама дисперсиясынан «хи-квадрат» үлестірімінің симметриялы толмағандығынан бірдей емес.

НЕГ 1 [112-124 бет], ҚОС 5 [36-46 бет]

Бақылау сұрақтары:

1. Таңдалған сипаттаманың қатесіне анықтама беру?

2. Таңдау қатесінің максимальді шамасы қалай анықталады?

3. Қандай көрсеткіштерден таңдау қатесінің шамасы тәуелді болады?

4. Екі, жаңа және ескі техникамен зерттеу нәтижелері бойынша айырмашылық негізі анықталады?

5. Орта мәнінің берілген сенімділік кезінде керекті шама қалай анықталады?