1.3 Числовые характеристики законов распределения

В практике эксплуатации машин часто встречаются явления и процессы, представляющие собой случайные события, случайные величины и случайные функции (случайные процессы). Для получения обоснованных и оптимальных управленческих решений необходимо знать их законы распределения и их числовые характеристики.

Между частными значениями случайной величины и вероятностями их появления существует определенная зависимость, которая называется законом распределения данной случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для характеристики закона распределения случайной величины используются интегральные и дифференциальные функции.

Закон распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины и может задаваться в виде таблицы, графика или формулы, например, в виде плотности распределения.

Например:

1) Нормальное распределение. Плотность распределения (частота отказов) при нормальном законе определяется по формуле:

, (1.6)

где х – значение случайной величины Х;

- среднее значение случайной величины Х;

σ – среднеквадратическое отклонение случайной величины Х.

2) Экспоненциальное распределение. Плотность распределения (частота отказов) при экспоненциальном законе определяется по формуле:

, (1.7)

где λ – интенсивность случайной величины Х.

3) Распределение Вейбулла. Плотность распределения (частота отказов) при распределении Вейбулла определяется по формуле:

(1.8)

где λ – параметр масштаба;

α – параметр формы.

Законы распределения случайных величин описываются с помощью числовых характеристик.

К основным числовым характеристикам можно отнести:

1. среднеарифметическое значение;

2. математическое ожидание;

3. размах;

4. дисперию;

5. среднеквадратическое отклонение (СКО);

6. коэффициент вариации.

Среднеарифметическое значение случайной величины Х – отношение суммы всех значений величины на общее число значений:

(1.9)

Математическим ожиданием М(Х) случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

(1.10)

При достаточном количестве измерений (испытаний) выполняется условие:

(1.11)

Размах R случайной величины X – разность между наибольшим и наименьшим значениями величины:

R = x_max – x_min . (1.12)

Дисперсией (рассеянием) D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

. (1.13)

Т.е. с учетом (1.10) получаем:

(1.14)

или

(1.15)

СКО случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии:

(1.16)

Коэффициент вариации V случайной величины X – отношение СКО к среднему значению:

V = σ / . (1.17)

1.4 Элементы математической логики

Для анализа сложных событий вводятся понятия логической суммы (дизъюнкции) и логического произведения (конъюнкции) событий.

Суммой событий А и В называют событие С:

C = A˅B, (1.18)

где ˅ - знак логического суммирования (дизъюнкции).

Событие считается свершившимся, если произошло хотя бы одно из событий А и В или оба вместе.

Произведением событий А и В называют событие С:

С = А˄В, (1.19)

где ˄ - знак логического произведения (конъюнкции).

Событие С считается свершившимся, если произошло каждое из событий А и В.

Совокупность нескольких событий называется группой событий. Полная группа событий - совокупность событий, хотя бы одно из которых должно произойти. Например, событие А (отказ изделия) и противоположное событие (безотказность изделия) составляют полную группу событий, так как изделие не может одновременно находиться в неисправном и исправном состоянии. Группа событий считается несовместной, если любые два события этой группы не могут произойти одновременно. Например, если признак (измеряемый параметр) разбит на три диагностических интервала (обрыв, короткое замыкание и нормальное состояние обмотки электрической машины), а события А₁, А₂, А₃ означают появление признака в соответствующем интервале, то указанные события - несовместные. События А и всегда образуют полную группу несовместных событий.

Вероятность суммы двух событий А и В:

Р(А˅B) = Р(А) + Р(В) - Р(А˄В), (1.20)

где Р(А˄В) - вероятность совместного появления событий А и В.

Для несовместных событий А и В, то

Р(А˅B) = Р(А) + Р(В). (1.21)

Вероятность суммы трёх событий А, В и С:

P(A˅B˅С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(А˄В) - Р(В˄С) - Р(С˄А) +

+ Р(А˄В˄С). (1.22)

Для несовместных событий А, В и С:

Р(А˅B˅С) = Р(А) + Р(В) + P(С). (1.23)

Если события А, В и С образуют полную группу событий, т.е. хотя бы одно из них обязательно осуществится, то

P(A˅B˅С) = 1. (1.24)

Для полной группы несовместных событий из условий (1.22) и (1.23) следует:

P(A) + P(B) + P(С) = 1. (1.25)

В частности, для суммы вероятностей противоположных событий

Р(А) + Р( ) = 1. (1.26)

Величина Р(В|А) называется условной вероятностью события В (при условии, что событие А произошло), тогда

Р(А˄В) = Р(А) · Р(В|А) (1.27)

или

Р(А˄В) = Р(В) · Р(А|В) (1.28)

В теории вероятности более приняты сокращённые обозначения логического произведения событий в виде обычного алгебраического произведения, тогда равенства (1.25) и (1.26) запишутся так:

Р(АВ) = Р(А) · Р(В|А) = Р(В) · Р(А|В). (1.29)

Понятие условной вероятности приводит к условию независимости событий.

Событие В считается независящим от события А, если

Р(В|А) = Р(В). (1.30)

Несовместные события всегда зависимые, тогда как совместные события могут быть зависимыми или независимыми.

Для независимых событий:

Р(АВ) = Р(А)Р(В). (1.31)

Из соотношений (1.28) и (1.30) вытекает условие Р(А|В) = Р(А), т.е. независимость событий - понятие взаимное.

Для группы из трёх событий:

P(ABС) = Р(А)Р(В|А)Р(С|АВ) = Р(В)Р(А|В)Р(С|ВА) =

= P(С)P(A|С)P(B|AС), (1.31)

а для независимых событий:

P(ABС) = P(A)P(B)P(С). (1.32)

Пример. Вероятность безотказной работы двух трансформаторов под нагрузкой Р = 0,9. Какова вероятность того, что не произойдёт одновременный отказ обоих трансформаторов?

Решение. Принимаем: безотказная работа первого трансформатора - событие А, второго трансформатора - событие В. Тогда безотказная работа одного из трансформаторов или обоих вместе есть сумма событий A˅В. Вероятность отсутствия одновременного отказа обоих трансформаторов (сумма событий А и В) при условии независимости отказов определяем по формуле (1.20):

Р(А˅B) = 0,9 + 0,9 - 0,9 · 0,9 = 0,99.