Тема 1. Применение элементов теории вероятности и математической статистики в теории управления риском

1.1 Случайные события и величины

Совокупность условий, влияющих на некоторое физическое явление, в которых могут осуществиться или не осуществиться рассматриваемые результаты, называются опытом. Получаемые результаты или исходы опыта называются событиями. В зависимости от совокупности влияющих условий и характера изучаемых событий они могут быть достоверными, невозможными и случайными. Случайное событие – такое событие, которое может произойти либо не произойти, в отличие от достоверного события, которое в данных условиях непременно осуществится, и невозможного события, которое в данных условиях совершиться не может. Неоднократное проведение опытов при одной и той же совокупности условий позволяет обнаружить определенные закономерности в наступлении случайных событий.

Итак, событие, которое при многократном повторении одного и того же опыта в одинаковых условиях протекает каждый раз несколько по-иному и в разные моменты времени, носит название случайного. Изучение закономерностей случайных событий составляет одну из задач теории вероятностей, ее решение позволяет предвидеть, как эти события будут протекать в дальнейшем.

Решая задачи надежности машин, приходится иметь дело только со случайными событиями – отказами. Изучением закономерностей появления отказов машин является важнейшим вопросом проблемы надежности.

Однако решение задач эксплуатационной надежности машин связано не только с изучением и анализом физической сущности и закономерностей возникновения отказов, но и с определением случайных величин, которыми характеризуется случайность появления отказов.

Величина, которая в результате опыта примет только одно заранее неизвестное и зависящее от комплекса случайных причин, называется случайной.

Все случайные величины подразделяются на непрерывные и дискретные.

Непрерывная случайная величина на некотором интервале времени может принимать несчетное множество значений.

Дискретная или прерывная величина в определенном интервале времени может принимать только счетное количество значений.

Ввиду того, что невозможно заранее указать конкретное значение, которое примет случайная величина в одном из опытов, для ее характеристики используется понятие вероятности.

Вероятностью события А называется число Р(А), характеризующее возможность появления события. Вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю, поэтому вероятность случайного события:

0 < Р(А) < 1. (1.1)

Строгое введение меры вероятности события требует специальной аксиоматики, основанной на теории множеств. Для инженерных приложений достаточно ограничиться следующим определением:

Р(А) = m/n, (1.2)

где m - число испытаний, при которых событие А появилось;

n - общее число проведённых испытаний.

1.2 Понятие функции распределения случайных величин

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной функцией распределения F(x) (рисунок 1.1, а) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина Х принимает значение меньшее или равное х:

F(x) = P{Х ≤ x} = P{- ∞ < Х ≤ x}. (1.3)

Свойства F(x):

1) неотрицательная, т.е. F(x) ≥ 0;

2) неубывающая, т.е. F(x₂) ≥ F(x₁), если x₂ ≥ x₁;

3) область определений – от 0 до 1, т.е. F(- ∞) = 0; F(+ ∞) = 1;

4) вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х₁ до х₂ P{x₁ < x < x₂} = F(x₂) – F(x₁).

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения (рисунок 1.1, б), иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

f(x)=dF(x)/dx. (1.4)

Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

(1.5)

Учитывая взаимосвязь F(х) и f(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х₁; х₂) следовательно, рассмотренное выше условие нормирования (1.5) означает, что вероятность попадания в интервал (- ∞; + ∞) равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие. Кроме того, из этого выражения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х₁; х₂) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х₁ и х₂ (рисунок 1.1, б). Поэтому по форме кривой плотности распределения вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной величины Х наиболее вероятны, а какие – наименее.