Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты точки в пространстве XOYZ— это ее полярные координаты в плоскости XOY и координата z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства:  или

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение его к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующими действиями:

объем V, правильный в направлении оси OZ, проектируется в область и записывается системой неравенств:

;

далее область записывается неравенствами в полярной системе координат (Рис. 7) и составляется бесконечно малый элемент плоской области в полярных координатах:

, ;

в подынтегральной функции и в пределах интегрирования по z делается переход к переменным и :

Если выполнить все указанные подстановки, то получится формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах:

(2)

Таким образом, бесконечно Формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах малый элемент объема в цилиндрических координатах получается следующим:

Пример 2 (вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах)

Вычислить , если область V ограничена поверхностями

.

Решение

Строим область V и записываем её системой неравенств в цилиндрических

координатах:

Теперь сводим тройной интеграл к трехкратному в соответствии с системой неравенств и вычисляем его:

.

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах

Сферические координаты точки М пространства XOYZ определяются следующим образом (Рис. 8):

r — расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки); r называют сферическим радиусом точки;  — угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

 — угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

или ,

Связь сферических и декартовых координат (выводится геометрически):

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:

,

I — это функциональный определитель Якоби третьего порядка:

, так как поэтому .

Таким образом, .

Бесконечно малый элемент объема в сферических координатах имеет вид: ;

формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид:

(3)

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

Пример 3 (вычисление тройного интеграла в сферических координатах)

Вычислить , где

Решение Область представляет собой верхнюю половину шара радиуса 2 с центром в начале координат. Запишем неравенствами область V в сферических координатах:

Переводим данный тройной интеграл в сферические координаты по формуле (3) и сводим его к трехкратному интегралу в соответствии с системой неравенств: