Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Дивергенция и её основные свойства

Определение дивергенции векторного поля

Дивиргенция (или расходимость) векторного поля в точке — это предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность , окружающую точку , в направлении ее внешней нормали к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку : (1)

 — дивергенция является производной потока через замкнутую ориентированную поверхность по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Основные свойства дивергенции

1. — это дифференциальная характеристика поля, является скалярной величиной.

2. В каждой точке поля показывает наличие источников или стоков поля:

• если , то в точке есть источник поля , при этом значение численно равно мощности источника;

• если , то в точке есть сток поля , при этом значение численно равно мощности стока;

• если , то в точке нет ни источника, ни стока поля .

3. вычисляется по формуле:

(2)

Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса, связывающей интеграл по замкнутой поверхности с интегралом по объёму, ограниченному этой поверхностью:

Применяем теорему о среднем к тройному интегралу:

где М₁ — это некоторая фиксированная точка в объёме, ограниченном замкнутой поверхностью (σ),

—величина этого объёма.

Теперь используем определение (1) дивергенции:

,

так как при точка M₁стремится к точке M. 

4. Если использовать понятие дивергенции, то теорема Остроградского-Гаусса в векторной форме:

,

(3)

то есть поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Так как можно рассматривать как плотность распределения источников и стоков векторного поля , то тройной интеграл равен суммарной мощности источников и стоков по объему .

Учитывая это, смысл теоремы Остроградского-Гаусса в форме (3) можно сформулировать следующим образом:

поток векторного поля изнутри замкнутой поверхности равен суммарной мощности источников и стоков этого поля, заключенных в объеме , ограниченном этой поверхностью .

Следовательно, если поток равен 0, то внутри поверхности нет источников и стоков поля или они уравновешивают друг друга.

5. Линейность дивергенции:

.

Это следует из линейности операций сложения векторов и дифференцирования.

6. Дивергенция прозведения скалярного поля на векторное поле вычисляется по формуле:

.

 

. 

Примеры 1 (вычисление дивергенции векторного поля)

1. Дано — поле радиус-вектора точки . Вычислить .

Решение

,

то есть каждая точка этого поля является источником постоянной мощности, равной 3.

2. Вычислить и объяснить смысл ее значения, если ,

Решение

;

.

Значение указывает на то, что в заданной точке есть источник векторного поля и мощность этого источника равна 10,25.

По рассмотренному примеру можно заметить, что любое векторное поле сопровождается скалярным полем его дивергенций.