Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Вычисление площади плоской фигуры, занимающей область d

Если плоская фигура занимает область D XOY, то ее площадь может быть вычислена с помощью двойного интеграла по его свойству о значении двойного интеграла от функции, тождественно равной единице на области интегрирования. В результате получается формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла:

(1)

Пример 1 (вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла)

Вычислить площадь фигуры, занимающей область D, ограниченную линиями

x = y² и x + y = 2.

Решение

Строим область D и записываем ее системой неравенств:

По формуле (1) вычисляем площадь: Ответ: SD = 4,5 (единиц площади).

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

С помощью двойного интеграла, если воспользоваться его геометрической трактовкой, можно вычислить объем цилиндроида; формула для вычисления объема цилиндроида имеет вид:

, Объем цилиндроида	(2)
где функция задает поверхность, ограничивающую цилиндроид сверху (Рис. 9) Более общая формула для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла имеет вид:
		(3)

Она получается как разность объемов двух цилиндроидов (Рис. 10).

Объемы других тел вычисляются двойным интегралом только в случаях, когда эти объемы представляются как сумма или разность объемов цилиндроидов.

Напомним, что цилиндроидом называется геометрическое тело, которое в координатной системе XOYZ ограничено снизу областью , сверху – частью некоторой поверхности , сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ.

Пример 2 (вычисление объема с помощью двойного интеграла)

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

1 – z = x² + y², x = 0, y = 0, z = 0, где и . Решение

Построив данное тело как ограниченное параболоидом и координатными плоскостями, находящееся в I октанте, видим, что оно является цилиндроидом, поэтому его объем вычисляем по формуле (2):

Так как область ограничена частью окружности, то двойной интеграл по ней проще вычислить в полярных координатах; тогда ,

==>

Ответ: V = /80,4 (единиц объема).