Понятие ориентированной поверхности (Сформулируйте понятие ориентированной поверхности)

Поверхность () называется двусторонней поверхностью, если изменить направление нормали на противоположное в любой ее точке можно только прохождением через край поверхности (Рис. 21).

	или
Рис. 21

Поверхность () называется односторонней поверхностью, если в любой ее точке можно изменить направление нормали на противоположное движением по поверхности без перехода через ее край. Пример односторонней поверхности — это лист Мебиуса, который получается, если прямоугольник склеить по ширине так, чтобы совпали точки A₁ и B₂, B₁ и A₂ (Рис. 22)

Рис. 22

Ориентированной поверхностью называется двусторонняя поверхность (), на которой указана сторона поверхности направлением нормали.

Физическая трактовка поверхностного интеграла II рода

— это поток вектора через ориентированную поверхность () в направлении ее нормали .

Основные свойства поверхностного интеграла II рода:

Свойство 1 (линейность поверхностного интеграла II рода по подинтегральному выражению)

Свойство 2 (аддитивность поверхностного интеграла II рода по поверхности интегрирования)

Если , то . При этом все три поверхности должны быть одинаково ориентированны.

Свойство 3 (зависимость поверхностного интеграла II рода от ориентации поверхности)

, то есть при изменении направления нормали к поверхности () поверхностный интеграл II рода изменяет знак на противоположный.

Свойство 4 (достаточные условия существования поверхностого интеграла II рода)

Для того, чтобы поверхностный интеграл существовал, достаточно выполнение двух условий: 1) векторная функция имеет непрерывные проекции , , в каждой точке поверхности ; 2) поверхность является ограниченной, двусторонней и имеет в каждой своей точке ненулевой вектор нормали , или, что то же, имеет в каждой своей точке касательную плоскость.

7. (Сформулируйте достаточные условия существования поверхностного интеграла II рода) Вычисление поверхностного интеграла II рода

Вычисление поверхностного интеграла II рода в форме (2) можно проводить от каждого слагаемого в отдельности сведением к двойному интегралу по проекции поверхности () на соответствующую координатную плоскость:

1.

берется знак “+” , если , или берется знак “–“, если ;

функцию x = x(y,z) нужно взять из уравнения, описывающего поверхность ( ).

2.

берется знак ”+”, если , или берется знак “–“, если ;

функцию y = y(x,z) нужно взять из уравнения поверхности ( ).

3.

берется знак “+”, если , или берется знак “–“, если ;

функцию z = z(x,y) нужно взять из уравнения поверхности ( ) .

Если же на поверхности ( ) хорошо записывается единичный вектор нормали , то криволинейный интеграл II рода проще вычислить в форме (1), так как в этом случае применяется правило вычисления поверхностного интеграла I рода (см. формулу (2) предыдущего параграфа).

Примеры 1 (вычисления поверхностных интегралов II рода)

1. Вычислить ,

где () — это внешняя часть сферы x² + y² + z² = 1, заключенная в I октанте.

Решение

	На внешней стороне сферы в I октанте углы ,, принадлежат промежутку [0;/2], поэтому являются неотрицательными. На каждую из координатных плоскостей указанная часть сферы проектируется в четверть круга радиуса 1. Вычисляем интеграл от каждого слагаемого в отдельности:
.

2. Вычислить , где  — внешняя сторона сферы x² + y² + z² = 1.

Решение — на верхней полусфере, — на нижней полусфере. I = Iпо верхней полусфере + Iпо нижней полусфере =