Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Определение работы и циркуляции

Определение работы и циркуляции векторного поля

Работой векторного поля на участке кривой с указанным на ней направлением называется криволинейный интеграл II рода от скалярного произведения вектора поля на вектор малого перемещения : (1) Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется работа этого векторного поля вдоль замкнутой кривой , на которой указано направление обхода: (2)

Основные свойства циркуляции

1. Циркуляция векторного поля – это скалярная величина, которая является интегральной характеристикой поля; она указывает на способность векторного поля совершать работу при перемещении по замкнутым траекториям.

2. Циркуляция зависит от направления на контуре , так как . Следовательно, при изменении направления обхода контура циркуляция меняет знак на противоположный.

3. Если по любому замкнутому контуру , то .

По теореме, в которой указываются необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования, имеем, что равенство нулю такого интеграла по любому замкнутому контуру эквивалентно существованию функции , такой что подынтегральное выражение является ее полным дифференциалом:

Таким образом, если по любому замкнутому контуру , то это означает, что существует скалярная функция , такая что .

Функция называется потенциалом векторного поля , а поле в этом случае называется потенциальным векторным полем.

Так как существование функции , такой что , является и достаточным условием для того, чтобы , то получается что циркуляция в потенциальном поле всегда равна нулю.

4. Циркуляция связана с ротором с помощью формулы Стокса:

,

формула Стокса в векторной форме имеет вид

(3)

Смысл формулы Стокса теперь легко прочитывается:

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого векторного поля через произвольную поверхность , опирающуюся на контур .

При этом направление на и направление на контуре образуют “правую систему”, то есть с конца вектора направление на контуре видно против часовой стрелки.

Из формулы Стокса (3) следует, что означает способность векторного поля совершать работу при перемещении материальной точки по замкнутому контуру .

5. Используя формулу Стокса в векторной форме, можно дать другое (физическое) определение ротора векторного поля, эквивалентное первому определению: и не зависящее от выбора координатной системы. Для этого запишем формулу Стокса для достаточно малой плоской площадки S c контуром , содержащей точку M:

Поверхностный интеграл в правой части формулы Стокса можно записать по теореме о среднем в следующем виде: , где — некоторая точка площадки S, площадь площадки тоже обозначена буквой S.

Тогда из формулы Стокса следует, что ,

(*)

где l – это контур, ограничивающий площадку S.

Пусть теперь контур стягивается в точку M, тогда и Переходя к пределу при этих условиях, в равенстве (*) получаем, что

(4)

Теперь формулируем определение ротора векторного поля, которое основано на формуле (4):

Определение ротора векторного поля через его циркуляцию

Ротор вектора в точке M – это вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки, стягивающейся в точку.