Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Определение тройного интеграла и его основные свойства

Определение тройного интеграла

Пусть задана область VXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V и на ее границе задана функция f (x,y,z). Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей): Тройной интеграл здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V; Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части, i = 1,...,n; — ранг разбиения; – диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла (Сформулируйте достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то существует.

Механическая трактовка тройного интеграла (В чем состоит механическая трактовка тройного интеграла)

Если f (x,y,z)  0 — это объемная плотность распределения вещества в области V, то — это масса всего вещества в трехмерной области V.

Основные свойства тройного интеграла (Сформулируйте основные свойства тройного интеграла)

Аналогичны свойствам определенного интеграла по отрезку и двойного интеграла по области D.

Свойство 1 (линейность тройного интеграла по подынтегральной функции)

,

где — постоянные множители по x, y, z.

Свойство 2 (аддитивность тройного интеграла по области интегрирования)

Если V = V₁  V₂, то .

Свойство 3 (о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f(x,y,z)  1 для , то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:

(здесь область V и её объём V обозначены одной буквой).

Свойство 4 (оценки значения тройного интеграла)

Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в замкнутой области V, то

Если |f(x,y,z)| при (x,y,z)V, то

Свойство 5 (теорема о среднем значении подынтегральной функции)

Если функция f (x,y,z) непрерывна в области V, то существует хотя бы одна точка P₀(x₀;y₀;z0)V такая, что

При этом число называется средним значением

функции f(x,y,z) по области V.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению трехкратного интеграла.

(Как вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах?)

В декартовых координатах область V, правильная в направлении оси OZ, записывается системой неравенств

,

где D – это проекция области V на плоскость XOY, а поверхности и ограничивают область V соответственно снизу и сверху (Рис. 6).

Если двумерную область D также записать системой неравенств , то трехмерная область V запишется системой трех неравенств

Тогда тройной интеграл сводится сначала к двойному, а затем к трёхкратному с учётом того, что в декартовых координатах dV = dxdydz;

формула сведения тройного интеграла к трехкратному интегралу имеет следующий вид:

(1)

Формула сведения тройного интеграла к трехкратному

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

Пример 1 (вычисление тройного интеграла в декартовых координатах)

Вычислить  , где область V ограничена поверхностями .

Решение

Запишем область V системой трёх неравенств:

Сводим тройной интеграл к трехкратному по формуле (1) в соответствии с системой

неравенств и вычисляем трехкратный интеграл:

.