Вариант 2 (для области правильной в направлении оси ox)

Если область D — правильная в направлении оси OX, то она записывается системой неравенств в которой отражено, что переменная y изменяется в постоянных пределах, а переменная x изменяется, вообще говоря, в переменных пределах,

зависящих от y; при этом геометрически отрезок является проекцией области D на ось линия ограничивает область D слева, линия ограничивает область справа (Рис. 4).

Тогда двойной интеграл сводится к повторному по формуле

(2)

Справа стоит повторный интеграл, в котором внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y является постоянной; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция . Затем вычисляется внешний интеграл от по переменной y в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример 2 (вычисление двойного интеграла в декартовых координатах)

Вычислить , если область D ограничена линиями и

Решение

Область D, уже построенная в предыдущем примере, является также правильной в направлении оси поэтому может быть записана системой неравенств

Вычисляем данный двойной интеграл сведением его к повторному по формуле (2):

.

Задача об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле (Как изменяется порядок интегрирования в повторном интеграле?)

На применении формул (1) и (2) для одной и той же области основано решение задачи об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле. Рассмотрим пример такой задачи.

Пусть дан повторный интеграл и требуется изменить порядок интегрирования так, чтобы внешний интеграл вычислялся бы по переменной y, а внутренний – по переменной x.

По пределам в данном повторном интеграле восстанавливаем область D, записывая для нее систему неравенств

Далее строим область D по этой системе неравенств и записываем её неравенствами другим способом, так чтобы в постоянных пределах изменялась переменная y:

Теперь переходим от исходного повторного интеграла к двойному интегралу по области D, а затем снова сводим двойной интеграл к повторному, но с другим порядком интегрирования:

Ответ:

Задача об изменении порядка интегрирования имеет практическое значение в связи с возможными трудностями при вычислении повторных интегралов от функции f(x,y).

Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах Область D называется правильной областью в полярной системе координат, если каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более чем в двуx точках (за исключением тех участков границы, которые являются частью луча, идущего из полюса) (Рис. 5). По определению двойного интеграла имеем: . Так как значение двойного интеграла не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной системы координат: лучами, выходящими из полюса, и концентрическими окружностями с центрами в полюсе. Тогда элементарная площадь вычисляется как разность площадей двух круговых секторов:

Фиксированная точка на каждой элементарной части тоже выбирается произвольно, поэтому ее декартовы координаты с учетом известных формул связи декартовых и полярных координат можно положить равными , (здесь значение угла можно произвольно зафиксировать на промежутке длиной ). Тогда определение двойного интеграла запишется в следующем виде: