Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Потенциальные поля и их свойства

Определение потенциального поля

Поле называется потенциальным векторным полем, если оно является градиентом некоторого скалярного поля : (1) При этом функция называется потенциалом векторного поля .

Основные свойства потенциальных полей

1. — циркуляция потенциального поля равна нулю по любому замкнутому контуру .

 Действительно, 

2. Если векторное поле задано в односвязной области D, то для его потенциальности необходимо и достаточно, чтобы его , то есть любое потенциальное поле является “безвихревым”.

О дносвязная область – это такая область, граница которой может быть стянута в точку непрерывным образом, не выходя за пределы области.

Доказательство

Необходимость: если векторное поле потенциально, то есть , то его .

Достаточность: если , то все компоненты вектора равны 0, то есть , , .

Докажем, что поле является потенциальным.

Если переобозначить то получим: , , .

В этих равенствах легко узнать необходимые и достаточные условия для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , то есть , , то есть поле является потенциальным, ч.т.д.

Если вспомнить доказательство достаточных условий полного дифференциала (в двумерном случае – с помощью формулы Грина), то становится понятно, что эти условия ( ) должны выполняться во всех точках некоторой области, которая рассматривалась как односвязная область.

Можно показать, что в случае области, которая не является односвязной, этих условий может оказаться недостаточно для восстановления однозначной функции во всей области (см. Фихненгольц, т.III, §§ 558-562, 601, 641). 

3. Если векторное поле потенциально, то его работа этого поля между двумя точками пространства не зависит от формы линии, которой соединяются эти точки, и равна разности значений потенциала поля в этих точках.

Доказательство



то есть работа равна разности значений потенциала и не зависит от формы перемещения 

4. Потенциал потенциального поля определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Действительно,

Найти потенциал векторного поля можно, например, с помощью криволинейного интеграла II рода, вычисленного от фиксированной точки до переменной точки :

(2)

При этом удобно вычислять криволинейный интеграл как независящий от формы линии интегрирования, то есть по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Точки , и линия интегрирования должны оставаться в области существования этого криволинейного интеграла.

При этом координаты фиксированной точки можно положить равными конкретным числам – это упростит вычисление.

По методу своего решения задача нахождения потенциала потенциального векторного поля совпадает с задачей о восстановлении функции двух или трех переменных по ее полному дифференциалу (см. §9 данного конспекта).

Пример 1 (нахождение потненциала потенциального векторного поля)

Убедиться в том, что векторное поле потенциально, и найти его потенциал:

Решение

— это необходимое и достаточное условие потенциальности поля .

Вычисляем

 поле является потенциальным.

Ответ: