Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Определение и основные свойства поверхностного интеграла I рода

Определение поверхностного интеграла I рода

Рассмотрим функцию , заданную в каждой точке некоторой поверхности () в системе координат XOYZ. Поверхностным интегралом I рода от функции f(x,y,z) по поверхности () называется конечный предел интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму: Определение поверхностного интеграла I рода (1) где n —это количество элементарных частей, на которые разбита поверхность (), i — площадь i-ой части разбиения, , — произвольная точка на i-той элементарной части (Рис.19), –– ранг разбиения, –– диаметр i-ой части разбиения. При этом предполагается, что предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности () на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из элементарных частей.

Основные свойства поверхностного интеграла I рода (Сформулируйте основные свойства поверхностного интеграла I рода)

Свойство 1 (линейность поверхностного интеграла I рода по поверхности интегрирования)

где  — постоянные по x, y, z.

Свойство 2 (аддитивность поверхностного интеграла I рода по поверхности интегрирования)

Если

Свойство 3 (о значении поверхностного интеграла I рода от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f(x,y,z)  1 во всех точках поверхности ( ), то поверхностный интеграл от функции f(x,y,z) по поверхности ( ) равен площади (мере) поверхности интегрирования:

Свойство 4 (достаточные условия существования поверхностного интеграла I рода)

Если функция является непрерывной в каждой точке ограниченной поверхности (), то поверхностный интеграл существует.

Механический смысл поверхностного интеграла I рода (В чем состоит механический смысл поверхностного интеграла I рода?)

— это масса неоднородной поверхности (),

если f(x,y,z)0 — это поверхностная плотность распределения массы по поверхности ().

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности () на одну из координатных плоскостей.

Например, если поверхность () имеет уравнение z = z(x,y) и проектируется однозначно в область D  XOY, то формула сведения поверхностного интеграла к двойному интегралу имеет такой вид:

(2)

Формула сведения поверхностного интеграла к двойномугде в декартовых координатах.

Пояснения к формуле

Если уравнение поверхности () имеет вид: , то – это вектор нормали к поверхности в любой ее точке (x,y,z);

в окрестности этой точки бесконечно малую часть поверхности () можно заменить бесконечно малой частью ее касательной плоскости, поэтому рассмотрим d как площадь бесконечно малой части касательной плоскости, проведенной к поверхности () в ее точке (x,y,z);

- это проекция на плоскость XOY; тогда по свойству проекций верно, что

;

Здесь  - это угол между вектором и осью OZ, его косинус вычисляется как один из направляющих косинусов вектора :

Пример 1 (вычисление поверхностного интеграла I рода)

Вычислить , где () - часть поверхности цилиндра z = 1 – x², для которой .

Решение Строим поверхность () и ее проекцию D на плоскость XOY, сводим данный поверхностный интеграл к двойному интегралу по проекции и вычисляем получившийся двойной интеграл: