Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода относится к «массовым» интегралам, так как имеет механическую трактовку «масса линии», аналогичную трактовке двойного интеграла как «массы плоской фигуры» и тройного интеграла как «массы трёхмерного тела». Поэтому этот криволинейный интеграл имеет механические приложения, аналогичные механическим приложениям двойного и тройного интеграла: вычисление массы, статических моментов, моментов инерции и координат центра масс линии l.

Из геометрических приложений криволинейного интеграла I рода наиболее важным является вычисление длины дуги (AB). Формула для вычисления длины дуги линии с помощью криволинейного интеграла I рода имеет очень простой вид:

(5)

Примеры 2 (приложение криволинейного интеграла I рода)

1. Вычислить массу участка линии между точками с абсциссами и , если линейная плотность материала в каждой точке линии равна квадрату абсциссы точки.

Решение

, то есть имеем двумерный вариант криволинейного интеграла I рода. Так как по условию задачи, то .

Для вычисления составленного криволинейного интеграла по формуле (3) вычислим:

Тогда

Ответ: (ед. массы).

2. Вычислим длину дуги винтовой линии , , , .

Решение

Винтовая линия получается, если прямоугольный треугольник с катетами длиной и «навивать» на цилиндр с радиусом основания :

Параметрические уравнения дуги (AB) винтовой линии:

, , , , где t – это полярный угол точки .

Длина дуги (AB): .

.

Ответ: (единиц длины).

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление Содержание

Оглавление 2

ТЕМА I. Кратные интегралы 3

§1. Двойной интеграл: определение, свойства, 3

механическая и геометрическая трактовки 3

1.1. Определение двойного интеграла 6

1.2. Основные свойства двойного интеграла 7

1.3. Механическая трактовка двойного интеграла 9

1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла 9

§2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах в двойном интеграле 11

Две формулы для вычисления двойного интеграла в декартовых координатах 14

Задача об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле (Как изменяется порядок интегрирования в повторном интеграле?) 18

Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах 19

Формула замены переменных в двойном интеграле 22

§3. Тройные интегралы: определение, свойства, механическая трактовка, вычисление в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах 24

Определение тройного интеграла и его основные свойства 27

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 29

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 31

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах 33

§ 4. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и механики 34

Вычисление площади плоской фигуры, занимающей область D 37

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла 38

Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок 40

Координаты центра масс пластинки 43

Приложения тройных интегралов 44

(13) 45

Здесь - это объемная плотность распределения массы. 45

ТЕМА II. Криволинейные и поверхностные интегралы 50

§5. Криволинейные интегралы I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 50

Определение криволинейного интеграла I рода 53

Основные свойства криволинейного интеграла I рода 54

Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода) 54

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода 57

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление 60

Определение криволинейного интеграла II рода 63

Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода 64

Основные свойства криволинейного интеграла II рода 65

Вычисление криволинейного интеграла II рода в двумерном случае (Как вычисляется криволинейный интеграл II рода?) 66

§7. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 72

Вывод формулы Грина 75

Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 79

§ 8. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования 81

Формулировка и доказательство теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в двумерном случае 85

Формулировка теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в трехмерном случае 88

§9. Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу 92

Постановка задачи в двумерном случае 95

Описание решения 95

§10. Поверхностный интеграл I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 100

Определение и основные свойства поверхностного интеграла I рода 103

Вычисление поверхностного интеграла I рода 104

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода 106

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса 110

Определение и физическая трактовка поверхностного интеграла II рода 113

Основные свойства поверхностного интеграла II рода: 115

Вычисление поверхностного интеграла II рода 116

Формула Стокса 117